Prove que:
a) Se
então
;
b) Se
então
.
a) Se
b) Se
Passo 1
O enunciado pede duas coisas, para um número complexo
(assumir
quando for necessário para definir
):
- (a) Mostrar que, se
, então . - (b) Mostrar que, se
, então .
Informações relevantes fornecidas ou que usaremos:
-
é um número complexo (escrevê‑lo como com quando necessário). -
denota o conjugado de . -
denota o módulo de . - Precisamos lembrar que
só existe se .
Passo 2
Definições e propriedades básicas que vamos usar (com explicação curta e concreta):
- Se
com , então o conjugado é . - O produto
é
que é um número real e não negativo. Por definição do módulo,
logo
- Para calcular a recíproca de
(quando ) é comum multiplicar numerador e denominador pelo conjugado para “racionalizar” o denominador. Isto dá a fórmula padrão
Vou mostrar essa última igualdade com as contas: tomando
,
Essa fórmula é útil porque expressa
em termos do conjugado e do módulo.
Passo 3
Prova de (a): partir da fórmula
.
- Hipótese:
. - Substituindo na fórmula:
- Observação: como
, então e a operação está bem definida. Assim concluímos (a).
Passo 4
Comentário pedagógico curto (ajuda a lembrar na prova): a razão prática é que quando o módulo vale
o denominador da fórmula
vira
, então o recíproco é exatamente o conjugado. Outra forma rápida de ver (equivalente) é notar que
implica
, então multiplicando ambos os lados por
obtém‑se
.
Passo 5
Prova de (b): partir da hipótese
.
- Hipótese:
. Multiplicando ambos os lados por (válido porque, para existir , temos ),
- Usando a propriedade
, obtemos
- Como
é não negativo por definição, tirar raiz quadrada dá
Isso conclui a prova de (b).
Passo 6
Resumo das propriedades usadas (para decorar e usar em provas rápidas):
-
para . -
. -
e (essas duas foram subjacentes às deduções e são úteis em problemas relacionados).
Resposta
(a) Se
então
.
(b) Se
então
.