Prove que:
a) Se |z|=1 então \frac{1}{z}=\bar{z};
b) Se \frac{1}{z}=\bar{z} então |z|=1.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas, para um número complexo z (assumir z\neq0 quando for necessário para definir \tfrac{1}{z}):
  • (a) Mostrar que, se |z|=1, então \dfrac{1}{z}=\bar{z}.
  • (b) Mostrar que, se \dfrac{1}{z}=\bar{z}, então |z|=1.
Informações relevantes fornecidas ou que usaremos:
  • z é um número complexo (escrevê‑lo como z=x+iy com x,y\in\mathbb{R} quando necessário).
  • \bar{z} denota o conjugado de z.
  • |z| denota o módulo de z.
  • Precisamos lembrar que \dfrac{1}{z} só existe se z\neq0.

Passo 2

Definições e propriedades básicas que vamos usar (com explicação curta e concreta):
  • Se z=x+iy com x,y\in\mathbb{R}, então o conjugado é \bar{z}=x-iy.
  • O produto z\bar{z} é
z\bar{z}=(x+iy)(x-iy)=x^2+y^2,
que é um número real e não negativo. Por definição do módulo,
|z|=\sqrt{x^2+y^2},
logo
z\bar{z}=|z|^2.
  • Para calcular a recíproca de z (quando z\neq0) é comum multiplicar numerador e denominador pelo conjugado para “racionalizar” o denominador. Isto dá a fórmula padrão
\frac{1}{z}=\frac{\bar{z}}{|z|^2}.
Vou mostrar essa última igualdade com as contas: tomando z=x+iy,
\frac{1}{z}=\frac{1}{x+iy}=\frac{x-iy}{(x+iy)(x-iy)}=\frac{x-iy}{x^2+y^2}=\frac{\bar{z}}{|z|^2}.
Essa fórmula é útil porque expressa \tfrac{1}{z} em termos do conjugado e do módulo.

Passo 3

Prova de (a): partir da fórmula \dfrac{1}{z}=\dfrac{\bar{z}}{|z|^2}.
  • Hipótese: |z|=1.
  • Substituindo na fórmula:
\frac{1}{z}=\frac{\bar{z}}{|z|^2}=\frac{\bar{z}}{1^2}=\bar{z}.
  • Observação: como |z|=1, então z\neq0 e a operação \dfrac{1}{z} está bem definida. Assim concluímos (a).

Passo 4

Comentário pedagógico curto (ajuda a lembrar na prova): a razão prática é que quando o módulo vale 1 o denominador da fórmula \dfrac{\bar{z}}{|z|^2} vira 1, então o recíproco é exatamente o conjugado. Outra forma rápida de ver (equivalente) é notar que |z|=1 implica z\bar{z}=1, então multiplicando ambos os lados por \tfrac{1}{z} obtém‑se \bar{z}=\tfrac{1}{z}.

Passo 5

Prova de (b): partir da hipótese \dfrac{1}{z}=\bar{z}.
  • Hipótese: \dfrac{1}{z}=\bar{z}. Multiplicando ambos os lados por z (válido porque, para existir \tfrac{1}{z}, temos z\neq0),
1=z\bar{z}.
  • Usando a propriedade z\bar{z}=|z|^2, obtemos
1=|z|^2.
  • Como |z| é não negativo por definição, tirar raiz quadrada dá
|z|=1.
Isso conclui a prova de (b).

Passo 6

Resumo das propriedades usadas (para decorar e usar em provas rápidas):
  • \dfrac{1}{z}=\dfrac{\bar{z}}{|z|^2} para z\neq0.
  • z\bar{z}=|z|^2.
  • |\bar{z}|=|z| e |zw|=|z||w| (essas duas foram subjacentes às deduções e são úteis em problemas relacionados).

Resposta

(a) Se |z|=1 então \dfrac{1}{z}=\bar{z}.
(b) Se \dfrac{1}{z}=\bar{z} então |z|=1.

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