Questão 12: Seja
f(x) uma função contínua em um intervalo
[a, b].
a) Denote por
x_{0}=a, x_{1}=b e
h=x_{1}-x_{0}. Considere o polinômio interpolador de grau
1, p_{1}(x), passando por
\left(x_{0}, f\left(x_{0}\right)\right),
\left(x_{1}, f\left(x_{1}\right)\right). Sabendo que
\int_{x_{0}}^{x_{1}} f(x) d x \approx \int_{x_{0}}^{x_{1}} p_{1}(x) d x
demonstre a regra dos trapézios:
\int_{x_{0}}^{x_{1}} f(x) d x \approx \frac{h}{2}\left[f\left(x_{0}\right)+f\left(x_{1}\right)\right]
b) Ainda com relação a essa função
f, denote agora
x_{0}=a, x_{1}=a+h, x_{2}=b, \quad \text { onde } h=\frac{b-a}{2} .
Considere o polinômio interpolador de grau 2 ,
p_{2}(x), passando por
\left(x_{0}, f\left(x_{0}\right)\right),\left(x_{1}, f\left(x_{1}\right)\right),\left(x_{2}, f\left(x_{2}\right)\right). Sabendo que
\int_{x_{0}}^{x_{2}} f(x) d x \approx \int_{x_{0}}^{x_{2}} p_{2}(x) d x
demonstre a regra
1 / 3 de Simpson:
\int_{x_{0}}^{x_{2}} f(x) d x \approx \frac{h}{3}\left[f\left(x_{0}\right)+4 f\left(x_{1}\right)+f\left(x_{2}\right)\right]