Determine todos os valores das expressões dadas:
\ln e^{-2}

Passo 1

O enunciado pede que a gente ache todos os valores de \ln e^{-2}. Aqui o conteúdo é o logaritmo complexo, que é multivalorado: para z\neq0 vale
\ln z = \ln|z| + i\,\Arg(z),
onde
\Arg(z)=\theta+2\pi k com k\in\mathbb{Z}.

Passo 2

Escrevemos e^{-2} em coordenadas polares. Como é um real positivo, seu módulo e argumento principais são
|e^{-2}| = e^{-2}, \quad \Arg(e^{-2}) = 0 + 2\pi k.

Passo 3

Aplicando a fórmula do logaritmo complexo:
\ln e^{-2} = \ln|e^{-2}| + i\,\Arg(e^{-2}) = -2 + i\bigl(0 + 2\pi k\bigr) = -2 + 2\pi i k,\quad k\in\mathbb{Z}.

Resposta

\displaystyle \{\,-2 + 2\pi i k \mid k\in\mathbb{Z}\}

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