Questão 12: Seja
uma função contínua em um intervalo
.
a) Denote por
e
. Considere o polinômio interpolador de grau
, passando por
,
. Sabendo que
demonstre a regra dos trapézios:
b) Ainda com relação a essa função
, denote agora
Considere o polinômio interpolador de grau 2 ,
, passando por
. Sabendo que
demonstre a regra
de Simpson:
a) Denote por
Passo 1
O enunciado pede para aproximar
usando polinômios interpoladores de grau 1 (regra dos trapézios) e de grau 2 (regra
de Simpson). Vamos usar a forma de Lagrange desses polinômios e integrar termo a termo.
Passo 2
Para a regra dos trapézios definimos
O polinômio de Lagrange de grau 1 é
com
Logo
Passo 3
Calculemos
e, analogamente,
Substituindo em
obtemos a regra dos trapézios:
Passo 4
Para a regra
de Simpson definimos
onde
. O polinômio de Lagrange de grau 2 é
onde, após a mudança
,
Então
Passo 5
Calculando as integrais em
:
Logo
que é a regra
de Simpson.
Resposta
a)
b)
b)