Questão 12: Seja f(x) uma função contínua em um intervalo [a, b].
a) Denote por x_{0}=a, x_{1}=b e h=x_{1}-x_{0}. Considere o polinômio interpolador de grau 1, p_{1}(x), passando por \left(x_{0}, f\left(x_{0}\right)\right), \left(x_{1}, f\left(x_{1}\right)\right). Sabendo que
\int_{x_{0}}^{x_{1}} f(x) d x \approx \int_{x_{0}}^{x_{1}} p_{1}(x) d x
demonstre a regra dos trapézios:
\int_{x_{0}}^{x_{1}} f(x) d x \approx \frac{h}{2}\left[f\left(x_{0}\right)+f\left(x_{1}\right)\right]
b) Ainda com relação a essa função f, denote agora
x_{0}=a, x_{1}=a+h, x_{2}=b, \quad \text { onde } h=\frac{b-a}{2} .
Considere o polinômio interpolador de grau 2 , p_{2}(x), passando por \left(x_{0}, f\left(x_{0}\right)\right),\left(x_{1}, f\left(x_{1}\right)\right),\left(x_{2}, f\left(x_{2}\right)\right). Sabendo que
\int_{x_{0}}^{x_{2}} f(x) d x \approx \int_{x_{0}}^{x_{2}} p_{2}(x) d x
demonstre a regra 1 / 3 de Simpson:
\int_{x_{0}}^{x_{2}} f(x) d x \approx \frac{h}{3}\left[f\left(x_{0}\right)+4 f\left(x_{1}\right)+f\left(x_{2}\right)\right]

Passo 1

O enunciado pede para aproximar
\int_{a}^{b}f(x)\,dx
usando polinômios interpoladores de grau 1 (regra dos trapézios) e de grau 2 (regra 1/3 de Simpson). Vamos usar a forma de Lagrange desses polinômios e integrar termo a termo.

Passo 2

Para a regra dos trapézios definimos
x_{0}=a,\quad x_{1}=b,\quad h=x_{1}-x_{0}.
O polinômio de Lagrange de grau 1 é
p_{1}(x)=L_{0}(x)\,f(x_{0})+L_{1}(x)\,f(x_{1}),
com
L_{0}(x)=\frac{x_{1}-x}{x_{1}-x_{0}},\qquad L_{1}(x)=\frac{x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}.
Logo
\int_{x_{0}}^{x_{1}}p_{1}(x)\,dx =f(x_{0})\int_{x_{0}}^{x_{1}}L_{0}(x)\,dx +f(x_{1})\int_{x_{0}}^{x_{1}}L_{1}(x)\,dx.

Passo 3

Calculemos
\int_{x_{0}}^{x_{1}}L_{0}(x)\,dx =\int_{x_{0}}^{x_{1}}\frac{x_{1}-x}{h}\,dx =\frac{1}{h}\Bigl[h\,x -\tfrac{x^{2}}{2}\Bigr]_{x_{0}}^{x_{1}} =\frac{h}{2},
e, analogamente,
\int_{x_{0}}^{x_{1}}L_{1}(x)\,dx=\frac{h}{2}.
Substituindo em \int p_{1} obtemos a regra dos trapézios:
\int_{x_{0}}^{x_{1}}f(x)\,dx\approx\frac{h}{2}\bigl[f(x_{0})+f(x_{1})\bigr].

Passo 4

Para a regra 1/3 de Simpson definimos
x_{0}=a,\quad x_{1}=a+h,\quad x_{2}=b=a+2h,
onde h=(b-a)/2. O polinômio de Lagrange de grau 2 é
p_{2}(x) =L_{0}(x)\,f(x_{0})+L_{1}(x)\,f(x_{1})+L_{2}(x)\,f(x_{2}),
onde, após a mudança t=x-a,
L_{0}(t)=\frac{(t-h)(t-2h)}{2h^{2}},\quad L_{1}(t)=-\frac{t(t-2h)}{h^{2}},\quad L_{2}(t)=\frac{t(t-h)}{2h^{2}}.
Então
\int_{x_{0}}^{x_{2}}p_{2}(x)\,dx =\sum_{i=0}^{2}f(x_{i})\int_{0}^{2h}L_{i}(t)\,dt.

Passo 5

Calculando as integrais em t:
\int_{0}^{2h}L_{0}(t)\,dt =\frac{h}{3},\quad \int_{0}^{2h}L_{1}(t)\,dt =\frac{4h}{3},\quad \int_{0}^{2h}L_{2}(t)\,dt =\frac{h}{3}.
Logo
\int_{x_{0}}^{x_{2}}f(x)\,dx \approx\frac{h}{3}\bigl[f(x_{0})+4f(x_{1})+f(x_{2})\bigr],
que é a regra 1/3 de Simpson.

Resposta

a) \displaystyle \int_{x_{0}}^{x_{1}}f(x)\,dx\approx\frac{h}{2}\bigl[f(x_{0})+f(x_{1})\bigr]
b) \displaystyle \int_{x_{0}}^{x_{2}}f(x)\,dx\approx\frac{h}{3}\bigl[f(x_{0})+4f(x_{1})+f(x_{2})\bigr]

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