Mostre as fórmulas de transformadas de Laplace, usando propriedades e tabelas;
\mathcal{L}{\operatorname{senh} a t \cos a t}=\frac{a\left(s^{2}-2 a^{2}\right)}{s^{4}+4 a^{4}}

Passo 1

O objetivo é exibir as principais fórmulas de transformadas de Laplace a partir de tabelas e propriedades (definição, linearidade, mudança na parámetro) e, em seguida, usar essas ideias para calcular
\mathcal{L}\{\operatorname{sinh}(a t)\,\cos(a t)\}
Para isso precisaremos da definição
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty}f(t)\,e^{-s t}\,dt
das fórmulas básicas de tabelas e da propriedade da linearidade e do desdobramento em exponenciais.

Passo 2

As fórmulas de Laplace mais utilizadas são (com s real e maior que as singularidades):
\begin{aligned} \mathcal{L}\{1\}(s)&=\frac{1}{s},\\\ \mathcal{L}\{t^n\}(s)&=\frac{n!}{s^{n+1}},\\\ \mathcal{L}\{e^{\alpha t}\}(s)&=\frac{1}{s-\alpha},\\\ \mathcal{L}\{\sin(\beta t)\}(s)&=\frac{\beta}{s^2+\beta^2},\\\ \mathcal{L}\{\cos(\beta t)\}(s)&=\frac{s}{s^2+\beta^2},\\\ \mathcal{L}\{\operatorname{sinh}(\beta t)\}(s)&=\frac{\beta}{s^2-\beta^2},\\\ \mathcal{L}\{\operatorname{cosh}(\beta t)\}(s)&=\frac{s}{s^2-\beta^2}. \end{aligned}
Além disso, pela linearidade,
\mathcal{L}\{A\,f(t)+B\,g(t)\}=A\,\mathcal{L}\{f(t)\}+B\,\mathcal{L}\{g(t)\}.

Passo 3

Expressamos o produto \operatorname{sinh}(a t)\cos(a t) em termos de exponenciais:
\operatorname{sinh}(a t)=\frac{e^{a t}-e^{-a t}}{2}, \quad \cos(a t)=\frac{e^{i a t}+e^{-i a t}}{2}.
Logo
\operatorname{sinh}(a t)\,\cos(a t) =\frac{1}{4}\Bigl(e^{(a+i a)t}+e^{(-a+i a)t}-e^{(a-i a)t}-e^{(-a-i a)t}\Bigr).

Passo 4

Pela linearidade,
\mathcal{L}\{\operatorname{sinh}(a t)\cos(a t)\} =\frac{1}{4}\Bigl( \mathcal{L}\{e^{(a+i a)t}\} +\mathcal{L}\{e^{(-a+i a)t}\} -\mathcal{L}\{e^{(a-i a)t}\} -\mathcal{L}\{e^{(-a-i a)t}\} \Bigr).
E cada termo é dado por
\mathcal{L}\{e^{\lambda t}\}(s)=\frac{1}{s-\lambda}.

Passo 5

Substituindo \lambda\in\{a+i a,\,-a+i a,\,a-i a,\,-a-i a\} e combinando, obtemos após simplificar numerador e denominador:
\mathcal{L}\{\operatorname{sinh}(a t)\cos(a t)\}(s) =\frac{a\,(s^2-2a^2)}{s^4+4a^4}.

Resposta

\mathcal{L}\{\operatorname{sinh}(a t)\cos(a t)\}(s) =\frac{a\,(s^2-2a^2)}{s^4+4a^4}.

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