Seja a função f(x) definida conforme a tabela abaixo:
c|cccc $x$ & 0 & 1 & 2 & 3 hline$f(x)$ & -2.5 & 6.7 & 10.8 & $k$ 0 1 2 3
k -2.5 6.7 10.8 f(x)
onde f(2.6) é o número formado pelos dois primeiros dígitos do seu R.A.
Determine o polinômio interpolador de utilizando:
(a) Lagrange
(b) Newton-Gregory
Avalie .

Passo 1

Resumo do enunciado: temos os pares de dados (0, –2.5), (1, 6.7), (2, 10.8), (3, k) e precisamos achar o polinômio interpolador de grau ≤3 pelos métodos de Lagrange e Newton–Gregory, além de avaliar f(2.6).

Passo 2

Pelo método de Lagrange construímos as bases
L0(x)=(x-1)(x-2)(x-3)-6,
L1(x)=x(x-2)(x-3)2,
L2(x)=-x(x-1)(x-3)2,
L3(x)=x(x-1)(x-2)6
O polinômio é
P(x)=-2.5,L0(x)+6.7,L1(x)+10.8,L2(x)+k,L3(x)

Passo 3

Para avaliar em x=2.6 calculamos
L0(2.6)=0.064,
L1(2.6)=-0.312,
L2(2.6)=0.832,
L3(2.6)=0.416
Logo
f(2.6)=(-2.5)(0.064)+6.7(-0.312)+10.8(0.832)+k(0.416)=6.7352+0.416,k

Passo 4

No método de Newton–Gregory montamos a tabela de diferenças divididas:
f[0]=-2.5, f[1]=6.7, f[2]=10.8, f[3]=k,
f[0,1]=9.2, f[1,2]=4.1, f[2,3]=k-10.8,
f[0,1,2]=-2.55, f[1,2,3]=0.5k-7.45,
f[0,1,2,3]=0.5k-7.45+2.553=k6-4930

Passo 5

O polinômio de Newton é
P(x)=-2.5+9.2x-2.55,x(x-1)+l(k6-4930r)x(x-1)(x-2)
A avaliação em x=2.6 já conferiu 6.7352+0.416k, igual ao resultado de Lagrange.

Resposta

Polinômio de Lagrange:
P(x) = -2.5(x-1)(x-2)(x-3)-6 + 6.7x(x-2)(x-3)2 - 10.8x(x-1)(x-3)2 + kx(x-1)(x-2)6
Polinômio de Newton–Gregory:
P(x) = -2.5 + 9.2x - 2.55,x(x-1) + l(k6-4930r)x(x-1)(x-2)
Avaliação:
f(2.6) = 6.7352 + 0.416,k

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