> df0:= cos(x); df1:=diff(df0,x); df2:=diff(df1,x); df3:=diff
    (df2,x);
        df0 := cos(x)
        df1:= -sin(x)
        df2 := - cos (x)
        df3:= sin(x)
> ft1:=convert(taylor(df0,x=Pi/4,1),polynom);
\[f t 1:=\frac{1}{2} \sqrt{2}\]
> ft2:=convert(taylor(df0,x=Pi/4,2),polynom);
ft3:=convert(taylor(df0,x=Pi/4,3), polynom);
ft4:=convert(taylor(df0,x=Pi/4,4), polynom);

Passo 1

Temos f(x)=cos(x) e queremos os polinômios de Taylor em torno de a=pi/4. O polinômio de Taylor de ordem n é dado por
Pn(x)=sumk=0^nf^(k)(a)k!(x-a)^k
Para isso, vamos calcular f(a) e as derivadas f'(a), f''(a), f'''(a) e montar sucessivamente os polinômios P0, P1, P2 e P3.

Passo 2

Calcular P0, que é só o termo constante:
f(a)=cosl(tfracpi4r)=raiz22
Logo
P0(x)=raiz22
Isto corresponde a ft1.

Passo 3

Agora o termo de ordem 1.
f'(x)=-sin(x), f'l(tfracpi4r)=-raiz22
Então
P1(x)=P0(x)+f'l(tfracpi4r),(x-tfracpi4) =raiz22-raiz22l(x-pi4r)
Isto corresponde a ft2.

Passo 4

Adicionamos o termo quadrático.
f''(x)=-cos(x), f''l(tfracpi4r)=-raiz22,
e o coeficiente de (x-a)^2 é f''(a)/2!. Assim
P2(x)=P1(x)+f''(tfracpi4)2!(x-tfracpi4)^2 =raiz22-raiz22l(x-pi4r)-raiz24l(x-pi4r)^2
Isto corresponde a ft3.

Passo 5

Finalmente o termo cúbico.
f'''(x)=sin(x), f'''l(tfracpi4r)=raiz22,
e o coeficiente de (x-a)^3 é f'''(a)/3!. Logo
P3(x)=P2(x)+f'''(tfracpi4)3!(x-tfracpi4)^3 =raiz22-raiz22l(x-pi4r)-raiz24l(x-pi4r)^2+raiz212l(x-pi4r)^3
Isto corresponde a ft4.

Resposta

ft1= raiz22
ft2= raiz22-raiz22l(x-pi4r)
ft3= raiz22-raiz22l(x-pi4r)-raiz24l(x-pi4r)^2
ft4= raiz22-raiz22l(x-pi4r)-raiz24l(x-pi4r)^2+raiz212l(x-pi4r)^3

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