Um engenheiro químico pretende fazer um arranjo de reatores com CSTR (100 L) e o PFR (100L) em série, porém não sabe qual será mais eficiente, ou melhor, qual arranjo tem maior eficiência de conversão. A cinética segue uma cinética de ordem 2 e a conversão na saída do CSTR é 0,75 . Calcule.
a) A conversão na saída do segundo reator. (CSTR + PFR).
b) A conversão do segundo reator considerando um sistema inverso do primeiro (PFR+CSTR).

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações e pede as conversões solicitadas:
  • Volume do primeiro reator: V_1=100\\ \text{L}.
  • Volume do segundo reator: V_2=100\\ \text{L}.
  • Ambos os reatores têm o mesmo vazão volumétrica (mesma vazão de alimentação), logo o tempo espaço de cada reator é o mesmo; chamo esse tempo de \tau onde \tau=V/v_0.
  • A cinética é de segunda ordem, isto é, a velocidade de consumo é -r_A = k C_A^2, onde k é a constante de velocidade e C_A é a concentração de A.
  • A conversão na saída de um CSTR de 100\\ \text{L} (isto é, de um reator CSTR com tempo espaço \tau) é \,x_{\text{CSTR}}=0,75.
  • Pedido:
    a) Conversão na saída do segundo reator para a sequência CSTR \to PFR (primeiro CSTR, depois PFR).
    b) Conversão na saída do segundo reator para a sequência PFR \to CSTR (primeiro PFR, depois CSTR).

Passo 2

Vamos obter a equação de projeto para um CSTR na reação de segunda ordem (aqui explico tudo passo a passo).
  • Balanço molar em regime estacionário para um CSTR: F_{A0}-F_A=-r_A V.
  • Escrevendo em termos de concentração e vazão volumétrica v_0: v_0 C_{A0} - v_0 C_A = -r_A V.
  • Definimos conversão x por C_A = C_{A0}(1-x). Então v_0 C_{A0} x = -r_A V.
  • O tempo espaço é \tau = V/v_0. Substituindo: C_{A0} x = -r_A \tau.
  • Para segunda ordem: -r_A = k C_A^2 = k C_{A0}^2 (1-x)^2.
  • Logo:
\tau = \frac{C_{A0} x}{k C_{A0}^2 (1-x)^2} = \frac{1}{k C_{A0}}\cdot\frac{x}{(1-x)^2}.
  • Defino a quantidade adimensional
\Theta \equiv k C_{A0}\tau.
A equação do CSTR fica então
\Theta = \frac{x}{(1-x)^2}.
Aqui \Theta é um número que reúne a constante cinética, a concentração inicial e o tempo espaço do reator.

Passo 3

Usando que um CSTR com \tau x=0,75, calculamos \Theta:
\Theta = \frac{0,75}{(1-0,75)^2} = \frac{0,75}{0,25^2} = \frac{0,75}{0,0625}=12.
Portanto, para cada reator de 100\\ \text{L} (cada um com tempo espaço \tau), temos k C_{A0}\tau = 12. Esse valor 12 será usado nas integrais/contas seguintes.

Passo 4

Agora a equação de projeto para um PFR (linha de escoamento) na mesma reação de segunda ordem:
  • Para um PFR: \tau = \displaystyle\int_{C_{A0}}^{C_A}\frac{dC_A}{-r_A}.
  • Em termos de conversão x: dC_A = -C_{A0} dx, e -r_A = k C_{A0}^2(1-x)^2.
  • Substituindo:
\tau = \int_{x_{\text{in}}}^{x_{\text{out}}} \frac{C_{A0}\,dx}{k C_{A0}^2(1-x)^2} = \frac{1}{k C_{A0}}\int_{x_{\text{in}}}^{x_{\text{out}}}\frac{dx}{(1-x)^2}.
  • A integral \int (1-x)^{-2}dx = \frac{1}{1-x}. Portanto:
k C_{A0}\tau = \frac{1}{1-x_{\text{out}}}-\frac{1}{1-x_{\text{in}}}.
Essa é a relação de PFR em termos de conversões de entrada e saída.

Passo 5

Caso (a): CSTR seguido de PFR.
  • Saída do primeiro (CSTR) é dada: x_{\text{in,PFR}} = 0,75.
  • Para o segundo reator (PFR) o parâmetro adimensional é k C_{A0}\tau = 12 (mesmo \tau porque mesmo volume e mesma vazão).
  • Usando a fórmula do PFR:
12 = \frac{1}{1-x_{\text{out}}}-\frac{1}{1-0,75}.
  • Calculando \frac{1}{1-0,75}=\frac{1}{0,25}=4. Então:
\frac{1}{1-x_{\text{out}}}=12+4=16.
  • Assim 1-x_{\text{out}}=\frac{1}{16} e
x_{\text{out}}=1-\frac{1}{16}=\frac{15}{16}=0,9375.

Passo 6

Caso (b) primeiro PFR e depois CSTR.
Primeiro encontramos a conversão na saída do primeiro reator (PFR) com \tau conhecido:
  • Para o primeiro PFR, com x_{\text{in}}=0 e k C_{A0}\tau=12:
12 = \frac{1}{1-x_1}-\frac{1}{1-0} = \frac{1}{1-x_1}-1.
  • Logo \frac{1}{1-x_1}=13, então 1-x_1=\frac{1}{13} e
x_1=\frac{12}{13}\approx 0,9230769.
Esse é o valor de conversão ao final do primeiro reator (PFR), que será a entrada do CSTR.

Passo 7

Agora o segundo reator é um CSTR alimentado por uma corrente com concentração C_{A,\text{in}}=C_{A0}(1-x_1). Vou derivar a equação que liga \tau, concentrações e k para esse CSTR de forma explícita:
  • Balanço para o segundo CSTR: v_0 C_{A,\text{in}} - v_0 C_{A,\text{out}} = k C_{A,\text{out}}^2 V.
  • Em termos de \tau:
\tau = \frac{C_{A,\text{in}}-C_{A,\text{out}}}{k C_{A,\text{out}}^2}.
  • Dividindo tudo por C_{A0} e definindo y\equiv \dfrac{C_{A,\text{out}}}{C_{A0}} (ou seja y=1-x_{\text{total}}), e sabendo que \dfrac{C_{A,\text{in}}}{C_{A0}}=1-x_1, obtemos:
k C_{A0}\tau = \frac{1-x_1 - y}{y^2}.
  • Substituímos os valores conhecidos: k C_{A0}\tau=12 e 1-x_1=\dfrac{1}{13}. Assim:
12 = \frac{\dfrac{1}{13} - y}{y^2}.
  • Multiplicando em ambos os lados e rearranjando:
12y^2 + y - \frac{1}{13} = 0.
  • Multiplicando por 13 para evitar frações:
156 y^2 + 13 y - 1 = 0.
  • Resolvendo a quadrática (fórmula de Bhaskara):
y = \frac{-13 \pm \sqrt{13^2 - 4\cdot156\cdot(-1)}}{2\cdot156} = \frac{-13 \pm \sqrt{169+624}}{312} = \frac{-13 \pm \sqrt{793}}{312}.
  • Tomamos a raiz positiva que dá y>0:
y = \frac{-13 + \sqrt{793}}{312}\approx 0,04864.
  • A conversão total na saída do CSTR (ou seja, do sistema) é
x_{\text{out}} = 1 - y \approx 1 - 0,04864 = 0,95136.
Podemos também escrever o valor exato da conversão como
x_{\text{out}} = 1 - \frac{-13 + \sqrt{793}}{312} = \frac{325-\sqrt{793}}{312}.

Passo 8

Resumo e comparação rápida (pra te animar): os dois cálculos deram números maiores que 0{,}75 (esperado, pois adicionamos mais volume):
  • Sequência CSTR \to PFR resulta em x\approx0{,}9375.
  • Sequência PFR \to CSTR resulta em x\approx0{,}95136.
    Portanto, ordenar PFR antes de CSTR dá conversão ligeiramente maior neste caso de segunda ordem com volumes iguais.

Resposta

(a) x_{\text{CSTR}\to\text{PFR}}=\dfrac{15}{16}=0,9375
(b) x_{\text{PFR}\to\text{CSTR}}=\dfrac{325-\sqrt{793}}{312}\approx0,95136

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