Doze meninas e n meninos foram contar figurinhas. No total, eles encontraram \quad n^{2}+9 n-11 figurinhas e cada um contou a mesma quantidade que os demais. O número de meninos desse grupo é igual a:

Passo 1

Temos um grupo de doze meninas e n meninos que, juntos, contam um total de
n^2 + 9n - 11
figurinhas, e esse total foi dividido igualmente entre os n + 12 participantes. Precisamos achar n para que
n+12 \mid n^2 + 9n - 11.

Passo 2

Para verificar a divisibilidade, fazemos a divisão do polinômio pelo binômio:
n^2 + 9n - 11 = (n+12)(n-3) + 25.
Isto mostra que o resto é 25.

Passo 3

Para que haja divisão exata, o resto deve ser zero, isto é, n+12 deve dividir 25. Os divisores positivos de 25 são 1, 5 e 25. Como n+12\ge12, a única possibilidade é
n+12 = 25 \quad\Longrightarrow\quad n = 13.

Resposta

13

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