Questăo 4: Considere a função f(x)=\epsilon^{2} definida no intervalo [0,1]. Utilize o método dos quadrados mínimos no caso continuo para encontrar o polinómio de grau 1 da forma g(x)=\alpha_{1}+\alpha_{2} x que melhor aproxima f(x) no intervalo dado.

Passo 1

O enunciado pede aproximar a função f(x)=x^2 no intervalo [0,1] por um polinômio de grau 1
g(x)=\alpha_{1}+\alpha_{2}x
usando o método dos quadrados mínimos no caso contínuo. O conteúdo principal é a aproximação em norma L^2, com produto interno
\langle u,v\rangle=\int_{0}^{1}u(x)\,v(x)\,dx.

Passo 2

Para encontrar o melhor aproximador em norma L^2, impomos as condições de ortogonalidade
\langle f-g,\phi_i\rangle=0
para as funções de base \phi_1(x)=1 e \phi_2(x)=x. Assim obtemos as equações normais:
\int_{0}^{1}\bigl[x^2-(\alpha_{1}+\alpha_{2}x)\bigr]\,dx=0
\int_{0}^{1}\bigl[x^2-(\alpha_{1}+\alpha_{2}x)\bigr]\,x\,dx=0

Passo 3

Calculamos as integrais envolvidas. Da primeira equação:
\int_{0}^{1}x^2\,dx=\frac{1}{3},\quad \int_{0}^{1}dx=1,\quad \int_{0}^{1}x\,dx=\frac{1}{2},
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\frac{1}{3}-\alpha_{1}-\frac{\alpha_{2}}{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad \alpha_{1}+\frac{\alpha_{2}}{2}=\frac{1}{3}.
Da segunda equação:
\int_{0}^{1}x^3\,dx=\frac{1}{4},\quad \int_{0}^{1}x^2\,dx=\frac{1}{3},
de onde
\frac{1}{4}-\frac{\alpha_{1}}{2}-\frac{\alpha_{2}}{3}=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{\alpha_{1}}{2}+\frac{\alpha_{2}}{3}=\frac{1}{4}.

Passo 4

Formamos o sistema
\begin{cases} \alpha_{1}+\tfrac{\alpha_{2}}{2}=\tfrac{1}{3},\\[6pt] \tfrac{\alpha_{1}}{2}+\tfrac{\alpha_{2}}{3}=\tfrac{1}{4}, \end{cases}
multiplicamos a primeira linha por 2\) e a segunda por \(6\): \[\begin{cases} 2\alpha_{1}+\alpha_{2}=\tfrac{2}{3},\\[4pt] 3\alpha_{1}+2\alpha_{2}=\tfrac{3}{2}. \end{cases}
Subtraindo a primeira equação da segunda obtém-se \alpha_{1}=-\tfrac{1}{6}\] e, em seguida, da primeira, \(\alpha_{2}=1.]

Resposta

g(x)=-\frac{1}{6}+x.

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