Encontre o polinômio do segundo grau que interpola \mathrm{f}(\mathrm{x}) nos seguintes pontos:
x
-1
1
3
f(x)
-2
-1
2
a) Pela resolução do sistema linear;
b) Interpolação pela forma de Lagrange;
c) Interpolação pela forma de Newton.
Passo 1
O enunciado pede o polinômio de grau 2 que interpola \mathrm{f}(x) nos pontos (x_0,f_0)=(-1,-2), (x_1,f_1)=(1,-1) e (x_2,f_2)=(3,2).
O objetivo é encontrar
P(x)=ax^2+bx+c
usando três abordagens:
– resolução de sistema linear;
– forma de Lagrange;
– forma de Newton.
Passo 2
Pela resolução do sistema linear, imponho as condições de interpolação:
\begin{cases} a(-1)^2 + b(-1) + c = -2,\\\ a(1)^2 \;+\; b(1)\;+\; c = -1,\\\ a(3)^2 \;+\; b(3)\;+\; c = \,2. \end{cases}
Isso é
\begin{cases} a \;-\; b \;+\; c = -2,\\\ a \;+\; b \;+\; c = -1,\\\\ 9a \;+\;3b \;+\; c = 2. \end{cases}
Subtraindo a primeira da segunda vem 2b=1, logo b=\tfrac12.
Da segunda, a+c=-1-\tfrac12=-\tfrac32.
Na terceira, 9a+c=2-\tfrac32=\tfrac12.
Subtraindo essas duas últimas equações dá 8a=2, assim a=\tfrac14 e c=-\tfrac32-\tfrac14=-\tfrac74.
Portanto