Encontre o polinômio do segundo grau que interpola \mathrm{f}(\mathrm{x}) nos seguintes pontos:
x -1 1 3
f(x) -2 -1 2
a) Pela resolução do sistema linear;
b) Interpolação pela forma de Lagrange;
c) Interpolação pela forma de Newton.

Passo 1

O enunciado pede o polinômio de grau 2 que interpola \mathrm{f}(x) nos pontos
(x_0,f_0)=(-1,-2), (x_1,f_1)=(1,-1) e (x_2,f_2)=(3,2).
O objetivo é encontrar
P(x)=ax^2+bx+c
usando três abordagens:
– resolução de sistema linear;
– forma de Lagrange;
– forma de Newton.

Passo 2

Pela resolução do sistema linear, imponho as condições de interpolação:
\begin{cases} a(-1)^2 + b(-1) + c = -2,\\\ a(1)^2 \;+\; b(1)\;+\; c = -1,\\\ a(3)^2 \;+\; b(3)\;+\; c = \,2. \end{cases}
Isso é
\begin{cases} a \;-\; b \;+\; c = -2,\\\ a \;+\; b \;+\; c = -1,\\\\ 9a \;+\;3b \;+\; c = 2. \end{cases}
Subtraindo a primeira da segunda vem 2b=1, logo b=\tfrac12.
Da segunda, a+c=-1-\tfrac12=-\tfrac32.
Na terceira, 9a+c=2-\tfrac32=\tfrac12.
Subtraindo essas duas últimas equações dá 8a=2, assim a=\tfrac14 e c=-\tfrac32-\tfrac14=-\tfrac74.
Portanto
P(x)=\tfrac14x^2+\tfrac12x-\tfrac74.

Passo 3

Pela forma de Lagrange, escrevo
P(x)=y_0L_0(x)+y_1L_1(x)+y_2L_2(x),
onde
L_0(x)=\frac{(x-1)(x-3)}{(-1-1)(-1-3)},\quad L_1(x)=\frac{(x+1)(x-3)}{(1+1)(1-3)},\quad L_2(x)=\frac{(x+1)(x-1)}{(3+1)(3-1)}.
Substituindo y_0=-2, y_1=-1, y_2=2 e simplificando, chega-se a
P(x)=\frac{x^2+2x-7}{4} =\tfrac14x^2+\tfrac12x-\tfrac74.

Passo 4

Pela forma de Newton, uso as diferenças divididas:
f[x_0,x_1]=\frac{-1-(-2)}{1-(-1)}=\tfrac12,\quad f[x_1,x_2]=\frac{2-(-1)}{3-1}=\tfrac32,
f[x_0,x_1,x_2] =\frac{\tfrac32-\tfrac12}{3-(-1)} =\tfrac14.
O polinômio de Newton centrado em x_0=-1 é
P(x)=-2 + \tfrac12\,(x+1) + \tfrac14\,(x+1)(x-1),
que ao expandir também resulta em
P(x)=\frac{x^2+2x-7}{4} =\tfrac14x^2+\tfrac12x-\tfrac74.

Resposta

Em todas as três abordagens o polinômio de interpolação é
\boxed{P(x)=\tfrac14x^2+\tfrac12x-\tfrac74.}

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