E4: Use o método da Falsa Posição para calcular uma raiz de
com precisão de
.
Passo 1
O enunciado pede que eu use o método da Falsa Posição (regula falsi) para calcular uma raiz da função
com precisão
.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
Pergunta: encontrar um valor
tal que
(ou com erro em
menor ou igual a
), usando o método da Falsa Posição.
Passo 2
Primeiro preciso de um intervalo
com mudança de sinal de
(ou seja,
), pois o método exige um intervalo que contenha uma raiz. Vou testar pontos simples:
e
.
Calculo os valores (todos os cálculos numéricos abaixo são apresentados com detalhe):
Como
e
, há mudança de sinal em
. Logo existe pelo menos uma raiz em
e posso aplicar a Falsa Posição nesse intervalo.
Passo 3
Explicando didaticamente o método da Falsa Posição:
- Suponha um intervalo
com e de sinais opostos. O método aproxima a raiz pela interseção da reta que liga os pontos e com o eixo . - A fórmula da abscissa dessa interseção (chamaremos de
) é
- Depois de calcular
, avalia-se . Se (ou satisfaz o critério de parada), terminamos. Caso contrário substitui-se o extremo que tem o mesmo sinal de por , mantendo o outro extremo, garantindo que o novo intervalo continua contendo a raiz. - Critério de parada que escolho aqui: interromper quando
(isto é, quando o valor da função no candidato está dentro da precisão pedida). Esse é um critério comum e apropriado para este problema.
Agora aplico iterações explícitas começando com
e
.
Passo 4
Iteração 1:
- Dados iniciais:
- Calcula-se
pela fórmula da Falsa Posição:
- Avaliando a função em
:
Para calcular
posso usar uma expansão de Taylor truncada (ou tabela/uma calculadora); aqui faço uma aproximação com termos até
para ficar claro o cálculo:
Com
obtemos (aprox.)
portanto
- Como
e , ambos e são positivos. Substituo o extremo por (mantendo ), obtendo o novo intervalo:
Passo 5
Iteração 2:
- Agora
- Calcula-se
:
Faço os produtos e a divisão (aprox.):
- Avaliando
:
Usando novamente uma aproximação para
(expansão de Taylor truncada dá boa precisão aqui):
portanto
- Observação importante:
. Assim o critério de parada está satisfeito na segunda iteração.
Passo 6
Resumo do processo e verificação final:
- Comecei com
. - Iteração 1 produziu
com (não satisfez ). - Iteração 2 produziu
com , que satisfaz . - Portanto, parei no ponto
e considero este valor como aproximação da raiz com a precisão pedida.