E4: Use o método da Falsa Posição para calcular uma raiz de f(x)=\cos (x)+x com precisão de \varepsilon \leq 10^{-2}.

Passo 1

O enunciado pede que eu use o método da Falsa Posição (regula falsi) para calcular uma raiz da função f(x)=\cos(x)+x com precisão \varepsilon \leq 10^{-2}.\n
Informações dadas:
f(x)=\cos(x)+x,\qquad \varepsilon \leq 10^{-2}.
Pergunta: encontrar um valor x tal que f(x)=0 (ou com erro em f(x) menor ou igual a \varepsilon), usando o método da Falsa Posição.

Passo 2

Primeiro preciso de um intervalo [a,b] com mudança de sinal de f (ou seja, f(a)\cdot f(b)<0), pois o método exige um intervalo que contenha uma raiz. Vou testar pontos simples: a=-1 e b=0.
Calculo os valores (todos os cálculos numéricos abaixo são apresentados com detalhe):
f(0)=\cos(0)+0=1,
f(-1)=\cos(-1)+(-1)=\cos(1)-1\approx 0,5403023059-1=-0,4596976941.
Como f(-1)\approx -0,4597<0 e f(0)=1>0, há mudança de sinal em [-1,0]. Logo existe pelo menos uma raiz em [-1,0] e posso aplicar a Falsa Posição nesse intervalo.

Passo 3

Explicando didaticamente o método da Falsa Posição:
  • Suponha um intervalo [a,b] com f(a) e f(b) de sinais opostos. O método aproxima a raiz pela interseção da reta que liga os pontos (a,f(a)) e (b,f(b)) com o eixo x.
  • A fórmula da abscissa dessa interseção (chamaremos de c) é
c=\frac{a\,f(b)-b\,f(a)}{f(b)-f(a)}.
  • Depois de calcular c, avalia-se f\text{(c)}. Se f\text{(c)}=0 (ou satisfaz o critério de parada), terminamos. Caso contrário substitui-se o extremo que tem o mesmo sinal de f\text{(c)} por c, mantendo o outro extremo, garantindo que o novo intervalo continua contendo a raiz.
  • Critério de parada que escolho aqui: interromper quando |f\text{(c)}|\le \varepsilon (isto é, quando o valor da função no candidato c está dentro da precisão pedida). Esse é um critério comum e apropriado para este problema.
Agora aplico iterações explícitas começando com a=-1 e b=0.

Passo 4

Iteração 1:
  • Dados iniciais:
a=-1,\qquad b=0,
f(a)=\cos(1)-1\approx -0,4596976941318602,
f(b)=1.
  • Calcula-se c pela fórmula da Falsa Posição:
c_1=\frac{a\,f(b)-b\,f(a)}{f(b)-f(a)}=\frac{-1\cdot 1 - 0\cdot f(a)}{1-(-0,4596976941318602)}=\frac{-1}{1,4596976941318602}\approx -0,6840402866513375.
  • Avaliando a função em c_1:
f(c_1)=\cos(c_1)+c_1=\cos(-0,6840402866513375)-0,6840402866513375.
Para calcular \cos(0,6840402866513375) posso usar uma expansão de Taylor truncada (ou tabela/uma calculadora); aqui faço uma aproximação com termos até x^6 para ficar claro o cálculo:
\cos x \approx 1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\frac{x^6}{720}.
Com x=0,6840402866513375 obtemos (aprox.)
\cos(0,6840402866513375)\approx 0,77502435,
portanto
f(c_1)\approx 0,77502435-0,6840402866513375\approx 0,0909840633486625.
  • Como f(c_1)\approx 0,09098>0 e f(b)=1>0, ambos f(c_1) e f(b) são positivos. Substituo o extremo b por c_1 (mantendo a), obtendo o novo intervalo:
[a,b]=[-1,\,-0,6840402866513375].

Passo 5

Iteração 2:
  • Agora
a=-1,\qquad b=-0,6840402866513375,
f(a)\approx -0,4596976941318602,\qquad f(b)\approx 0,0909840633486625.
  • Calcula-se c_2:
c_2=\frac{a\,f(b)-b\,f(a)}{f(b)-f(a)}=\frac{-1\cdot 0,0909840633486625 - (-0,6840402866513375)\cdot(-0,4596976941318602)}{0,0909840633486625-(-0,4596976941318602)}.
Faço os produtos e a divisão (aprox.):
(-0,6840402866513375)\cdot(-0,4596976941318602)\approx 0,31445178986,
\text{numerador}\approx -0,0909840633486625 - 0,31445178986\approx -0,4054358532086625,
\text{denominador}\approx 0,0909840633486625+0,4596976941318602\approx 0,5506817574805227,
c_2\approx \frac{-0,4054358532086625}{0,5506817574805227}\approx -0,736454.
  • Avaliando f(c_2):
f(c_2)=\cos(c_2)+c_2=\cos(-0,736454)+(-0,736454)=\cos(0,736454)-0,736454.
Usando novamente uma aproximação para \cos(0,736454) (expansão de Taylor truncada dá boa precisão aqui):
\cos(0,736454)\approx 0,7408608,
portanto
f(c_2)\approx 0,7408608-0,736454\approx 0,0044068.
  • Observação importante: |f(c_2)|\approx 0,00441\le 0,01=\varepsilon. Assim o critério de parada |f\text{(c)}|\le\varepsilon está satisfeito na segunda iteração.

Passo 6

Resumo do processo e verificação final:
  • Comecei com [a,b]=[-1,0].
  • Iteração 1 produziu c_1\approx -0,6840402866513375 com f(c_1)\approx 0,09098 (não satisfez \varepsilon).
  • Iteração 2 produziu c_2\approx -0,736454 com f(c_2)\approx 0,00441, que satisfaz |f(c_2)|\le 10^{-2}.
  • Portanto, parei no ponto c_2 e considero este valor como aproximação da raiz com a precisão pedida.

Resposta

-0,73645

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