Sobre métodos diretos para resolução de sistemas, responda:
Após uma série de cálculos complicados para modelar um determinado problema de previsão futurística, chegou-se ao seguinte sistema de equações:
Resolva o sistema utilizando o método de eliminação de Gauss com pivotação total.
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear abaixo e pede que eu resolva usando eliminação de Gauss com pivotação total. As incógnitas são x_{1},x_{2},x_{3}\).
\[\begin{cases} 1{,}85\,x_{1}-0{,}40\,x_{2}+2{,}33\,x_{3}=3{,}79\\[4pt] -0{,}40\,x_{1}+1{,}51\,x_{2}-0{,}69\,x_{3}=0{,}43\\[4pt] 2{,}33\,x_{1}-0{,}69\,x_{2}+4{,}00\,x_{3}=5{,}65
Informações relevantes que eu tenho aqui: \;1\] matriz dos coeficientes e vetor dos termos independentes conforme acima;\n
\;2) devo aplicar eliminação de Gauss com pivotação total (ou seja, em cada etapa escolher o maior valor absoluto na submatriz restante e, se necessário, trocar linhas e colunas — trocar colunas muda a ordem das incógnitas, então preciso acompanhar essa permutação).]
Passo 2
Escrevo a matriz aumentada inicial (coloca-se cada número entre parênteses matemáticos):
Vou aplicar pivotação total: em cada passo procuro o maior valor absoluto na submatriz ainda não eliminada, troco linhas e colunas para trazer esse elemento para a posição de pivô, e registro as trocas de colunas para poder recuperar a ordem original das incógnitas no final.]
Passo 3
Procuro o maior elemento absoluto na submatriz inteira (todas as entradas da matriz dos coeficientes). Os valores absolutos relevantes são \,|1{,}85|,|0{,}40|,|2{,}33|,|1{,}51|,|0{,}69|,|4{,}00|. O maior é \,4{,}00, que está na posição original (3,3). Para usar este como pivô na posição (1,1) (primeira etapa) faço: \;1) trocar a linha 1 com a linha 3;\n \;2) trocar a coluna 1 com a coluna 3 (isto altera a ordem das incógnitas: originalmente [x_{1},x_{2},x_{3}], após a troca a ordem de colunas passa a ser [x_{3},x_{2},x_{1}]). Vou acompanhar essa permutação: após a primeira troca de colunas, a nova ordem de variáveis é \,(\tilde{x}_{1},\tilde{x}_{2},\tilde{x}_{3})=(x_{3},x_{2},x_{1}).
Passo 4
Aplico as trocas (linha 1↔3 e coluna 1↔3) na matriz aumentada; o resultado é:
Lembre-se: as colunas ainda estão na ordem (x_{3},x_{2},x_{1}).]
Passo 7
Agora faço pivotação total na submatriz 2×2 (linhas 2–3, colunas 2–3). Procuro o maior elemento absoluto entre \{1{,}390975,\;0{,}001925,\;0{,}001925,\;0{,}492775\}. O maior é 1{,}390975, que já está em posição (2,2). Portanto não preciso trocar colunas nem linhas nesta etapa. O pivô é a_{22}=1{,}390975.