Sobre métodos diretos para resolução de sistemas, responda:
Após uma série de cálculos complicados para modelar um determinado problema de previsão futurística, chegou-se ao seguinte sistema de equações:
\begin{cases}1.85 x_{1}-0.40 x_{2}+2.33 x_{3} & =3.79 \\\ -0.40 x_{1}+1.51 x_{2}-0.69 x_{3} & =0.43 \\\ 2.33 x_{1}-0.69 x_{2}+4.00 x_{3} & =5.65\end{cases}
Resolva o sistema utilizando o método de eliminação de Gauss com pivotação total.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear abaixo e pede que eu resolva usando eliminação de Gauss com pivotação total. As incógnitas são x_{1},x_{2},x_{3}\). \[\begin{cases} 1{,}85\,x_{1}-0{,}40\,x_{2}+2{,}33\,x_{3}=3{,}79\\[4pt] -0{,}40\,x_{1}+1{,}51\,x_{2}-0{,}69\,x_{3}=0{,}43\\[4pt] 2{,}33\,x_{1}-0{,}69\,x_{2}+4{,}00\,x_{3}=5{,}65
Informações relevantes que eu tenho aqui:
\;1\] matriz dos coeficientes e vetor dos termos independentes conforme acima;\n
\;2) devo aplicar eliminação de Gauss com pivotação total (ou seja, em cada etapa escolher o maior valor absoluto na submatriz restante e, se necessário, trocar linhas e colunas — trocar colunas muda a ordem das incógnitas, então preciso acompanhar essa permutação).]

Passo 2

Escrevo a matriz aumentada inicial (coloca-se cada número entre parênteses matemáticos):
\left[\begin{array}{ccc|c} 1{,}85 & -0{,}40 & 2{,}33 & 3{,}79\\[4pt] -0{,}40 & 1{,}51 & -0{,}69 & 0{,}43\\[4pt] 2{,}33 & -0{,}69 & 4{,}00 & 5{,}65 \end{array}\right]
Vou aplicar pivotação total: em cada passo procuro o maior valor absoluto na submatriz ainda não eliminada, troco linhas e colunas para trazer esse elemento para a posição de pivô, e registro as trocas de colunas para poder recuperar a ordem original das incógnitas no final.]

Passo 3

Procuro o maior elemento absoluto na submatriz inteira (todas as entradas da matriz dos coeficientes). Os valores absolutos relevantes são \,|1{,}85|,|0{,}40|,|2{,}33|,|1{,}51|,|0{,}69|,|4{,}00|. O maior é \,4{,}00, que está na posição original (3,3). Para usar este como pivô na posição (1,1) (primeira etapa) faço:
\;1) trocar a linha 1 com a linha 3;\n
\;2) trocar a coluna 1 com a coluna 3 (isto altera a ordem das incógnitas: originalmente [x_{1},x_{2},x_{3}], após a troca a ordem de colunas passa a ser [x_{3},x_{2},x_{1}]). Vou acompanhar essa permutação: após a primeira troca de colunas, a nova ordem de variáveis é \,(\tilde{x}_{1},\tilde{x}_{2},\tilde{x}_{3})=(x_{3},x_{2},x_{1}).

Passo 4

Aplico as trocas (linha 1↔3 e coluna 1↔3) na matriz aumentada; o resultado é:
\left[\begin{array}{ccc|c} 4{,}00 & -0{,}69 & 2{,}33 & 5{,}65\\[4pt] -0{,}69 & 1{,}51 & -0{,}40 & 0{,}43\\[4pt] 2{,}33 & -0{,}40 & 1{,}85 & 3{,}79 \end{array}\right]
Aqui a coluna 1 corresponde a x_{3}, a coluna 2 corresponde a x_{2} e a coluna 3 corresponde a x_{1} — mantenho isso em mente para o final.]

Passo 5

Agora faço eliminação na coluna 1 (pivô a_{11}=4{,}00). Para zerar as entradas abaixo do pivô uso multiplicadores
m_{21}=\frac{a_{21}}{a_{11}}=\frac{-0{,}69}{4{,}00}=-0{,}1725,\qquad m_{31}=\frac{a_{31}}{a_{11}}=\frac{2{,}33}{4{,}00}=0{,}5825.
O conceito: m_{i1} é o número que multiplica a linha do pivô e subtraímos da linha i para zerar a entrada a_{i1}.
Aplico R_{2}\leftarrow R_{2}-m_{21}R_{1} e R_{3}\leftarrow R_{3}-m_{31}R_{1}. Calculando cada entrada:
Para R_{2}:
\begin{aligned} a'_{22}&=1{,}51 - m_{21}(-0{,}69)=1{,}51 -(-0{,}1725\cdot -0{,}69)=1{,}51-0{,}119025=1{,}390975,\\[4pt] a'_{23}&=-0{,}40 - m_{21}(2{,}33)=-0{,}40 -(-0{,}1725\cdot 2{,}33)=-0{,}40+0{,}401925=0{,}001925,\\[4pt] b'_{2}&=0{,}43 - m_{21}(5{,}65)=0{,}43 -(-0{,}1725\cdot 5{,}65)=0{,}43+0{,}974625=1{,}404625. \end{aligned}
Para R_{3}:
\begin{aligned} a'_{32}&=-0{,}40 - m_{31}(-0{,}69)=-0{,}40 - (0{,}5825\cdot -0{,}69)= -0{,}40 + 0{,}401925=0{,}001925,\\[4pt] a'_{33}&=1{,}85 - m_{31}(2{,}33)=1{,}85 - (0{,}5825\cdot 2{,}33)=1{,}85-1{,}357225=0{,}492775,\\[4pt] b'_{3}&=3{,}79 - m_{31}(5{,}65)=3{,}79 - (0{,}5825\cdot 5{,}65)=3{,}79-3{,}291125=0{,}498875. \end{aligned}]

Passo 6

Após a primeira etapa de eliminação a matriz aumentada fica (mostro os valores calculados):
\left[\begin{array}{ccc|c} 4{,}00 & -0{,}69 & 2{,}33 & 5{,}65\\[4pt] 0 & 1{,}390975 & 0{,}001925 & 1{,}404625\\[4pt] 0 & 0{,}001925 & 0{,}492775 & 0{,}498875 \end{array}\right]
Lembre-se: as colunas ainda estão na ordem (x_{3},x_{2},x_{1}).]

Passo 7

Agora faço pivotação total na submatriz 2×2 (linhas 2–3, colunas 2–3). Procuro o maior elemento absoluto entre
\{1{,}390975,\;0{,}001925,\;0{,}001925,\;0{,}492775\}. O maior é 1{,}390975, que já está em posição (2,2). Portanto não preciso trocar colunas nem linhas nesta etapa. O pivô é a_{22}=1{,}390975.
Calculo o multiplicador para zerar a_{32}:
m_{32}=\frac{a'_{32}}{a'_{22}}=\frac{0{,}001925}{1{,}390975}\approx 0{,}001384\\ (\text{aprox.}).
Aplico R_{3}\leftarrow R_{3}-m_{32}R_{2}. Calculando as entradas novas de R_{3}:
\begin{aligned} a''_{33}&=0{,}492775 - m_{32}\cdot 0{,}001925\approx 0{,}492775 - 0{,}00000266\approx 0{,}492772336,\\[4pt] b''_{3}&=0{,}498875 - m_{32}\cdot 1{,}404625\approx 0{,}498875 - 0{,}001944005\approx 0{,}496930995. \end{aligned}]

Passo 8

A matriz triangular superior (após segunda eliminação) fica aproximadamente:
\left[\begin{array}{ccc|c} 4{,}00 & -0{,}69 & 2{,}33 & 5{,}65\\[4pt] 0 & 1{,}390975 & 0{,}001925 & 1{,}404625\\[4pt] 0 & 0 & 0{,}492772336 & 0{,}496930995 \end{array}\right]
Agora faço a substituição regressiva (back-substitution). Lembre-se: coluna 1= x_{3}, coluna 2= x_{2}, coluna 3= x_{1}.]

Passo 9

Substituição regressiva (resolvo da última equação para cima).
  1. Da terceira linha:
0{,}492772336\cdot \tilde{x}_{3}=0{,}496930995
onde \tilde{x}_{3} é a incógnita correspondente à coluna 3 (ou seja, \tilde{x}_{3}=x_{1}). Logo
\tilde{x}_{3}= \frac{0{,}496930995}{0{,}492772336}\approx 1{,}008444.
  1. Da segunda linha:
1{,}390975\cdot \tilde{x}_{2} + 0{,}001925\cdot \tilde{x}_{3}=1{,}404625.
Isolando \tilde{x}_{2} (lembrando de usar o valor de \tilde{x}_{3} obtido):
\tilde{x}_{2}=\frac{1{,}404625 - 0{,}001925\cdot \tilde{x}_{3}}{1{,}390975} \approx \frac{1{,}404625 - 0{,}001925\cdot 1{,}008444}{1{,}390975} \approx 1{,}008422.
  1. Da primeira linha:
4{,}00\cdot \tilde{x}_{1} -0{,}69\cdot \tilde{x}_{2} + 2{,}33\cdot \tilde{x}_{3}=5{,}65.
Isolando \tilde{x}_{1} (onde \tilde{x}_{1} corresponde à coluna 1, isto é, \tilde{x}_{1}=x_{3}):
\tilde{x}_{1}=\frac{5{,}65 +0{,}69\cdot \tilde{x}_{2} -2{,}33\cdot \tilde{x}_{3}}{4{,}00} \approx \frac{5{,}65 +0{,}69\cdot 1{,}008422 -2{,}33\cdot 1{,}008444}{4{,}00} \approx 0{,}999036.
Resumo dos valores na ordem das colunas atuais (\tilde{x}_{1},\tilde{x}_{2},\tilde{x}_{3})=(x_{3},x_{2},x_{1}):
\tilde{x}_{1}\approx 0{,}999036,\quad \tilde{x}_{2}\approx 1{,}008422,\quad \tilde{x}_{3}\approx 1{,}008444.

Passo 10

Agora restauro a ordem original das incógnitas (x_{1},x_{2},x_{3}). Lembre: \tilde{x}_{3}=x_{1}, \tilde{x}_{2}=x_{2}, \tilde{x}_{1}=x_{3}. Portanto:
x_{1}=\tilde{x}_{3}\approx 1{,}008444,\qquad x_{2}=\tilde{x}_{2}\approx 1{,}008422,\qquad x_{3}=\tilde{x}_{1}\approx 0{,}999036.

Resposta

x_{1}\approx 1{,}008444
x_{2}\approx 1{,}008422
x_{3}\approx 0{,}999036

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