Encontre aproximações para a integral, usando a quadratura de Gauss-Legendre com 3 pontos. Então, compare com o seu valor exato.
integral-1^1 11+x^2
\
multicolumn{1}{c} |r|r| mu integral-1^1 f(t) dt approx sumj=1^n wj f(tj)
hline
hline \

Passo 1

Beleza, a questão pede pra gente aproximar
integral-1^111+x^2,dx
usando a quadratura de Gauss–Legendre com 3 pontos (os \emph{nodes} e os \emph{pesos} já estão na tabela).
Conteúdo: integração numérica (quadratura de Gauss–Legendre).
O que precisamos:
  1. Saber a fórmula de Gauss–Legendre
  2. Avaliar nos três nós
  3. Somar
  4. Comparar com o valor exato (teoria de integrais básicas: antiderivada de )

Passo 2

Teoria rápida: na quadratura de Gauss–Legendre com 3 pontos entendi que
integral-1^1f(x),dx ;approx; sumj=1^3 wj,f(tj)
Aqui os pontos e pesos são
c|c tj & wjhline -0.7745966692 & 0.5555555556 0 & 0.8888888889 +0.7745966692 & 0.5555555556
Então é só calcular e fazer a soma ponderada.

Passo 3

Calcular f(t1)=11+(-0.7745966692)^2 =11+0.6000000000 =11.6 =0.625 em cada nó:
  1. Para f(t2)=11+0^2=1 :
f(t3)=0.625
  1. Para :
  1. Para é igual ao , logo

Passo 4

Agora a soma ponderada:
integral-1^111+x^2,dx approx w1f(t1)+w2f(t2)+w3f(t3)
=0.5555555556cdot0.625 +0.8888888889cdot1 +0.5555555556cdot0.625
Como os termos de 2times(0.5555555556cdot0.625) =2times0.3472222223 =0.6944444446, e 0.6944444446+0.8888888889 =1.5833333335 são iguais:
então

Passo 5

Valor exato da integral:
integral-1^111+x^2,dx =l[arctan(x)r]-1^1 =arctan(1)-arctan(-1) =pi4-l(-pi4r) =pi2 approx1.5707963268

Passo 6

Comparando:
– Aproximação 3-pontos: 1.5833333335 - 1.5707963268 approx 0.0125370067
– Valor exato:
– Erro aproximado:

Resposta

Aproximação (Gauss–Legendre 3 pontos): .
Valor exato: .
Erro ≈ .

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