Encontre aproximações para a integral, usando a quadratura de Gauss-Legendre com 3 pontos. Então, compare com o seu valor exato.
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multicolumn{1}{c}
hline
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multicolumn{1}{c}
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hline
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hline \ |
Passo 1
Beleza, a questão pede pra gente aproximar
usando a quadratura de Gauss–Legendre com 3 pontos (os \emph{nodes}
e os \emph{pesos}
já estão na tabela).
Conteúdo: integração numérica (quadratura de Gauss–Legendre).
O que precisamos:
Conteúdo: integração numérica (quadratura de Gauss–Legendre).
O que precisamos:
- Saber a fórmula de Gauss–Legendre
- Avaliar
nos três nós - Somar
- Comparar com o valor exato (teoria de integrais básicas: antiderivada de
)
Passo 2
Teoria rápida: na quadratura de Gauss–Legendre com 3 pontos entendi que
Aqui os pontos e pesos são
Então é só calcular
e fazer a soma ponderada.
Passo 3
Calcular
em cada nó:
- Para
:
- Para
:
- Para
é igual ao , logo
Passo 4
Agora a soma ponderada:
Como os termos de
e
são iguais:
então
Passo 5
Valor exato da integral:
Passo 6
Comparando:
– Aproximação 3-pontos:
– Valor exato:
– Erro aproximado:
– Aproximação 3-pontos:
– Valor exato:
– Erro aproximado:
Resposta
Aproximação (Gauss–Legendre 3 pontos):
.
Valor exato: .
Erro ≈ .
Valor exato:
Erro ≈