Use o método de Euler Modificado na busca da solução do problema
\begin{aligned} \frac{d \varphi}{d t} & =\frac{\varphi^{2}+t \varphi-t^{2}}{t^{2}} \\\ \varphi(1) & =2 \end{aligned}
empregando incrementos \Delta t iguais a 0,05 e 0,025 e encontre os valores de \varphi(t) no ponto 0,05 .

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
\frac{d\varphi}{dt}=\frac{\varphi^{2}+t\,\varphi - t^{2}}{t^{2}},\quad \varphi(1)=2,
e pede a aproximação de \varphi em t=1{,}05 usando o método de Euler Modificado (também chamado de Euler de passo médio), para os incrementos \Delta t=0{,}05 e \Delta t=0{,}025. Vamos usar a fórmula
\varphi_{n+1}=\varphi_{n}+\Delta t\;f\!\bigl(t_{n}+\tfrac{\Delta t}{2},\,\varphi_{n}+\tfrac{\Delta t}{2}\,f(t_{n},\varphi_{n})\bigr),
onde f(t,\varphi)=(\varphi^{2}+t\,\varphi - t^{2})/t^{2}.

Passo 2

Definimos
f(t,\varphi)=\frac{\varphi^{2}+t\,\varphi - t^{2}}{t^{2}}.
No método de Euler Modificado calculamos primeiro
k_{1}=f(t_{n},\varphi_{n}), \quad \varphi_{\text{mid}}=\varphi_{n}+\tfrac{\Delta t}{2}\,k_{1}, \quad t_{\text{mid}}=t_{n}+\tfrac{\Delta t}{2},
depois
k_{2}=f(t_{\text{mid}},\varphi_{\text{mid}}), \quad \varphi_{n+1}=\varphi_{n}+\Delta t\,k_{2}.

Passo 3

Caso \Delta t=0{,}05, partimos de t_{0}=1, \varphi_{0}=2 e fazemos um único passo até t_{1}=1{,}05.
  1. k_{1}=f(1,2)=\bigl(2^{2}+1\cdot2-1^{2}\bigr)/1^{2}=5.
  2. \displaystyle t_{\text{mid}}=1+0{,}025=1{,}025,\quad \varphi_{\text{mid}}=2+0{,}025\cdot5=2{,}125.
  3. k_{2}=f(1{,}025,2{,}125) =\bigl(2{,}125^{2}+1{,}025\cdot2{,}125-(1{,}025)^{2}\bigr)/(1{,}025)^{2} \approx5{,}373.
  4. \varphi_{1}=2+0{,}05\cdot5{,}373\approx2{,}26865.

Passo 4

Caso \Delta t=0{,}025, partimos de t_{0}=1, \varphi_{0}=2 e fazemos dois passos de comprimento 0{,}025 até t_{2}=1{,}05.
Primeiro passo t_{0}\to t_{1}=1{,}025:
  1. k_{1}=f(1,2)=5.
  2. t_{\text{mid}}=1{,}0125,\\ \varphi_{\text{mid}}=2+0{,}0125\cdot5=2{,}0625.
  3. k_{2}=f(1{,}0125,2{,}0625)\approx5{,}186.
  4. \varphi_{1}=2+0{,}025\cdot5{,}186\approx2{,}12965. Segundo passo t_{1}\to t_{2}=1{,}05:
  5. k_{1}'=f(1{,}025,2{,}12965)\approx5{,}397.
  6. t_{\text{mid}}=1{,}0375,\\ \varphi_{\text{mid}}=2{,}12965+0{,}0125\cdot5{,}397\approx2{,}19711.
  7. k_{2}'=f(1{,}0375,2{,}19711)\approx5{,}602.
  8. \varphi_{2}=2{,}12965+0{,}025\cdot5{,}602\approx2{,}26970.

Resposta

Para t=1{,}05 pelo método de Euler Modificado obtemos: \displaystyle \varphi(1{,}05)\approx2{,}26865 com \Delta t=0{,}05, \displaystyle \varphi(1{,}05)\approx2{,}26970 com \Delta t=0{,}025.

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