Provar que
Passo 1
Neste exercício queremos provar que a soma dos termos “lagrangeanos” ponderados por potências de (x–x_k) leva à forma dada envolvendo ω(x)=∏_{j=0}^n(x–x_j). O conteúdo que usamos é interpolação polinomial de Lagrange e a fórmula do resto dessa interpolação.
Passo 2
Definimos a função g(t)= (x–t)^{n+2}, vista como função de t com parâmetro x fixo. Vamos interpolar g(t) nos pontos t=x_0,…,x_n por um polinômio P(t) de grau ≤n. Pela definição de polinômio de Lagrange, temos P(x)=∑_{k=0}^n g(x_k)·l_{nk}(x)=∑_{k=0}^n (x–x_k)^{n+2}l_{nk}(x).
Passo 3
Aplicamos a fórmula do resto da interpolação de Lagrange em t=x:
Passo 4
Calculamos a derivada de ordem n+1 de g(t):
Passo 5
Substituindo na fórmula do resto:
Passo 6
Como g(x)=(x–x)^{n+2}=0, temos P(x)=-
(g(x)-P(x))=(-1)^n(n+2)(x–\xi),ω(x).
(g(x)-P(x))=(-1)^n(n+2)(x–\xi),ω(x).
Passo 7
Basta notar que se definirmos
então