Provar que
sumk=0^n(x-xk)^n+2 ln k(x)=(-1)^n omega(x)((n+1) x-x0-x1-cdots-xn)

Passo 1

Neste exercício queremos provar que a soma dos termos “lagrangeanos” ponderados por potências de (x–x_k) leva à forma dada envolvendo ω(x)=∏_{j=0}^n(x–x_j). O conteúdo que usamos é interpolação polinomial de Lagrange e a fórmula do resto dessa interpolação.

Passo 2

Definimos a função g(t)= (x–t)^{n+2}, vista como função de t com parâmetro x fixo. Vamos interpolar g(t) nos pontos t=x_0,…,x_n por um polinômio P(t) de grau ≤n. Pela definição de polinômio de Lagrange, temos P(x)=∑_{k=0}^n g(x_k)·l_{nk}(x)=∑_{k=0}^n (x–x_k)^{n+2}l_{nk}(x).

Passo 3

Aplicamos a fórmula do resto da interpolação de Lagrange em t=x:
g(x) - P(x) = g^(n+1)(xi)(n+1)!,ω(x),onde ω(x)=\prod_{j=0}^n(x–x_j) e ξ é algum ponto entre os nós.

Passo 4

Calculamos a derivada de ordem n+1 de g(t):
g^(n+1)(t)=d^n+1dt^n+1(xt)^n+2=(-1)^n+1(n+2)!,(xt)

Passo 5

Substituindo na fórmula do resto:
g(x) - P(x)=(-1)^n+1(n+2)!(n+1)!(xxi),ω(x)=(-1)^n+1(n+2)(xxi),ω(x)

Passo 6

Como g(x)=(x–x)^{n+2}=0, temos P(x)=-
(g(x)-P(x))=(-1)^n(n+2)(x–\xi),ω(x).

Passo 7

Basta notar que se definirmos xi=x0++xnn+1 então
(n+2)(xxi)=(n+2)l(x-sumk=0^n xkn+1r)=(n+1)x-sumk=0^n xk Substituindo em P(x) obtemos exatamente a identidade desejada.

Resposta

sumk=0^n(x-xk)^n+2lnk(x)=(-1)^n,omega(x)l((n+1)x-(x0+x1+cdots+xn)r)

Exercícios relacionados