Empregue os métodos de Euler, Ralston e Runge-Kutta de segunda e de quarta ordem para os seguintes problemas de valor inicial:
y^prime=y-t^2+1, 0 <= t <= 2, y(0)=0,5, h=0,5

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a solução da EDO y'=y - t^2 + 1 com condição inicial y(0)=0,5, no intervalo [0,2] usando passo h=0,5. Vamos empregar quatro métodos: Euler (ordem 1), Ralston (RK 2 otimizado), Runge–Kutta de 2ª ordem (Heun) e Runge–Kutta de 4ª ordem. Para todos, definimos f(t,y)=y - t^2 + 1 e os pontos tn=0,0,5,1,0,1,5,2,0.

Passo 2

No método de Euler usamos a fórmula
yn+1=yn + h,f(tn,yn)
Com h=0,5 obtemos:
  • n=0:;t0=0,;y0=0,5,;f0=f(0,0,5)=1,5 y1=0,5+0,5cdot1,5=1,25.
  • n=1:;t1=0,5,;y1=1,25,;f1=2,0 y2=1,25+0,5cdot2,0=2,25.
  • n=2:;t2=1,0,;y2=2,25,;f2=2,25 y3=2,25+0,5cdot2,25=3,375.
  • n=3:;t3=1,5,;y3=3,375,;f3=2,125 y4=3,375+0,5cdot2,125=4,4375.

Passo 3

No método de Ralston (RK 2 otimizado) usamos:
$$
k_1 = f(t_n,y_n),\qquad k_2 = f\bigl(t_n+\tfrac{3}{4}h,;y_n+\tfrac{3}{4}h,k_1\bigr),$$
k1 = f(tn,yn), k2 = fl(tn+tfrac34h,;yn+tfrac34h,k1r),
Com yn+1 = yn + hl(tfrac13k1 + tfrac23k2r) e h=0,5:
  • 0,75h=0,375 n=0.
  • y1=1,390625 n=1.
  • y2=2,556640625 n=2.
  • y3=3,8576660156 n=3.

Passo 4

No método de Runge–Kutta de 2ª ordem (Heun), usamos a regra do trapézio explícita:
$$
k_1 = f(t_n,y_n),\quad k_2 = f\bigl(t_n+h,;y_n+h,k_1\bigr),$$
k1 = f(tn,yn), k2 = fl(tn+h,;yn+h,k1r),
Calculando com yn+1 = yn + tfrach2(k1 + k2) :
  • h=0,5, y1=1,375, y2=2,515625, y3=3,775390625.

Passo 5

No método de Runge–Kutta de 4ª ordem clássico, temos
k1 = f(tn,yn), k2 = fl(tn+tfrach2,yn+tfrach2k1r), k3 = fl(tn+tfrach2,yn+tfrach2k2r), k4 = f(tn+h,yn+h k3),
yn+1 = yn + tfrach6(k1 + 2k2 + 2k3 + k4)
Iterando com h=0,5
y1=1,4251302083,;y2=2,6396026611,;y3=4,0068189699,;y4=5,3016052291.

Resposta

Método de Euler: y(0,5)=1,25; y(1,0)=2,25; y(1,5)=3,375; y(2,0)=4,4375.
Método de Ralston: y(0,5)=1,390625; y(1,0)=2,556640625; y(1,5)=3,8576660156; y(2,0)=5,0655822754.
Runge–Kutta 2ª ordem (Heun): y(0,5)=1,375; y(1,0)=2,515625; y(1,5)=3,775390625; y(2,0)=4,9162597656.
Runge–Kutta 4ª ordem: y(0,5)=1,4251302083; y(1,0)=2,6396026611; y(1,5)=4,0068189699; y(2,0)=5,3016052291.

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