Empregue os métodos de Euler, Ralston e Runge-Kutta de segunda e de quarta ordem para os seguintes problemas de valor inicial:
Passo 1
O enunciado pede para aproximar a solução da EDO
com condição inicial
, no intervalo
usando passo
. Vamos empregar quatro métodos: Euler (ordem 1), Ralston (RK 2 otimizado), Runge–Kutta de 2ª ordem (Heun) e Runge–Kutta de 4ª ordem. Para todos, definimos
e os pontos
.
Passo 2
No método de Euler usamos a fórmula
Com
obtemos:
-
⇒ . -
⇒ . -
⇒ . -
⇒ .
Passo 3
No método de Ralston (RK 2 otimizado) usamos:
$$
k_1 = f(t_n,y_n),\qquad k_2 = f\bigl(t_n+\tfrac{3}{4}h,;y_n+\tfrac{3}{4}h,k_1\bigr),$$
Com
e
:
-
⇒ . -
⇒ . -
⇒ . -
⇒ .
Passo 4
No método de Runge–Kutta de 2ª ordem (Heun), usamos a regra do trapézio explícita:
$$
k_1 = f(t_n,y_n),\quad k_2 = f\bigl(t_n+h,;y_n+h,k_1\bigr),$$
Calculando com
:
-
, , , .
Passo 5
No método de Runge–Kutta de 4ª ordem clássico, temos
Iterando com
dá
.
Resposta
Método de Euler: y(0,5)=1,25; y(1,0)=2,25; y(1,5)=3,375; y(2,0)=4,4375.
Método de Ralston: y(0,5)=1,390625; y(1,0)=2,556640625; y(1,5)=3,8576660156; y(2,0)=5,0655822754.
Runge–Kutta 2ª ordem (Heun): y(0,5)=1,375; y(1,0)=2,515625; y(1,5)=3,775390625; y(2,0)=4,9162597656.
Runge–Kutta 4ª ordem: y(0,5)=1,4251302083; y(1,0)=2,6396026611; y(1,5)=4,0068189699; y(2,0)=5,3016052291.
Método de Ralston: y(0,5)=1,390625; y(1,0)=2,556640625; y(1,5)=3,8576660156; y(2,0)=5,0655822754.
Runge–Kutta 2ª ordem (Heun): y(0,5)=1,375; y(1,0)=2,515625; y(1,5)=3,775390625; y(2,0)=4,9162597656.
Runge–Kutta 4ª ordem: y(0,5)=1,4251302083; y(1,0)=2,6396026611; y(1,5)=4,0068189699; y(2,0)=5,3016052291.