Sejam x0 e f[x0, ldots, xn]=f^(n)(xi)n! . Prove que existe , tal que

Passo 1

Temos pontos distintos x0< x1 e fin C^n[x0,xn]. Queremos mostrar que o coeficiente do termo de grau n na interpolação de Newton, que é exatamente a diferença dividida f[x0,dots,xn], vale f^(n)(xi)/n! para algum xiin(x0,xn).

Passo 2

Definimos o polinômio interpolador de Newton de grau <= n pelos nós x0,dots,xn: seja c=f[x0,dots,xn] e
Q(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+cdots+c,(x-x0)(x-x1)cdots(x-xn-1)

Passo 3

Então o erro de interpolação é a função g(x)=f(x)-Q(x), que satisfaz g(xi)=0 para i=0,1,dots,n, pois Q(xi)=f(xi).

Passo 4

Pela regra de Rolle aplicada repetidamente a g, que tem n+1 zeros, concluímos que existe um ponto xiin(x0,xn) tal que
g^(n)(xi)=0

Passo 5

Por outro lado, derivando g(x)=f(x)-c,(x-x0)cdots(x-xn-1) n vezes, como os termos de grau desaparecem, obtemos
g^(n)(x)=f^(n)(x)-c,n!

Passo 6

Portanto, em x=xi temos 0=g^(n)(xi)=f^(n)(xi)-c,n!, ou seja
c=f[x0,dots,xn]=f^(n)(xi)n!

Resposta

Existe xiin(x0,xn) tal que f[x0,dots,xn]=dfracf^(n)(xi)n!.

Exercícios relacionados