Sejam
e
. Prove que existe
, tal que
Passo 1
Temos pontos distintos
e
. Queremos mostrar que o coeficiente do termo de grau
na interpolação de Newton, que é exatamente a diferença dividida
, vale
para algum
.
Passo 2
Definimos o polinômio interpolador de Newton de grau
pelos nós
: seja
e
Passo 3
Então o erro de interpolação é a função
, que satisfaz
para
, pois
.
Passo 4
Pela regra de Rolle aplicada repetidamente a
, que tem
zeros, concluímos que existe um ponto
tal que
Passo 5
Por outro lado, derivando
n vezes, como os termos de grau
desaparecem, obtemos
Passo 6
Portanto, em
temos
, ou seja
Resposta
Existe
tal que
.