Seja p(x) um polinômio de grau n que satisfaz a desigualdade |p(x)| <= 1 em [-1,1]. Provar que
p[x0, x1, ldots, xn] <= 2^n-1

Passo 1

Temos um polinômio p(x) de grau n com |p(x)|<=1 em [-1,1] e queremos mostrar que sua n-ésima diferença dividida em pontos arbitrários x0,dots,xn satisfaz p[x0,dots,xn]<=2^n-1. O conteúdo envolvido é diferenças divididas de Newton e o polinômio de Chebyshev.

Passo 2

Pela fórmula de Newton, o polinômio p(x) pode ser escrito como
p(x)=p[x0]+p[x0,x1](x-x0)+cdots+p[x0,dots,xn](x-x0)cdots(x-xn-1)
Cada fator (x-x0)cdots(x-xn-1) é monico de grau n, logo o coeficiente líder de p(x) é exatamente p[x0,dots,xn].

Passo 3

Considere o polinômio de Chebyshev de grau n, definido por
Tn(x)=cos(narccos x),
que se expande como
Tn(x)=2^n-1x^n+termos de grau inferior
É conhecido que, entre todos os polinômios monicos de grau n, Tn(x) minimiza o supremo em [-1,1]. Em particular,
minq monicomax[-1,1]|q(x)|=2^1-n

Passo 4

Definimos
q(x)=p(x)p[x0,dots,xn],
que é monico de grau n (pois seu coeficiente líder vale 1). Como |p(x)|<=1, temos em [-1,1]
|q(x)|=|p(x)||p[x0,dots,xn]|<=1|p[x0,dots,xn]|
Mas a propriedade extremal do Chebyshev dá
max[-1,1]|q(x)|>=2^1-n

Passo 5

Combinando as desigualdades, obtemos
1|p[x0,dots,xn]|>=2^1-n Longrightarrow |p[x0,dots,xn]|<=2^n-1
Como a diferença dividida é real, concluímos que
p[x0,dots,xn]<=2^n-1.

Resposta

p[x0, x1, ldots, xn] <= 2^n-1

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