Seja
um polinômio de grau
que satisfaz a desigualdade
em
. Provar que
Passo 1
Temos um polinômio
de grau
com
em
e queremos mostrar que sua
-ésima diferença dividida em pontos arbitrários
satisfaz
. O conteúdo envolvido é diferenças divididas de Newton e o polinômio de Chebyshev.
Passo 2
Pela fórmula de Newton, o polinômio
pode ser escrito como
Cada fator
é monico de grau
, logo o coeficiente líder de
é exatamente
.
Passo 3
Considere o polinômio de Chebyshev de grau
, definido por
que se expande como
É conhecido que, entre todos os polinômios monicos de grau
,
minimiza o supremo em
. Em particular,
Passo 4
Definimos
que é monico de grau
(pois seu coeficiente líder vale 1). Como
, temos em
Mas a propriedade extremal do Chebyshev dá
Passo 5
Combinando as desigualdades, obtemos
Como a diferença dividida é real, concluímos que
.