Empregue os métodos de Euler, Ralston e Runge-Kutta de segunda e de quarta ordem para os seguintes problemas de valor inicial:
Passo 1
Neste exercício temos o problema de valor inicial
e queremos aproximar a solução nos nós com passo
usando os métodos de Euler, Ralston, Runge-Kutta de segunda ordem (Heun) e Runge-Kutta de quarta ordem.
Passo 2
Para o método de Euler explícito, usamos a fórmula
com
. No primeiro passo em
:
No segundo passo em
:
Passo 3
Para o método de Ralston (um RK de segunda ordem com pesos 1/3 e 2/3), definimos
Primeiro passo em
:
Segundo passo em
:
Passo 4
No método de Runge–Kutta de segunda ordem (Heun), usamos
No primeiro passo:
No segundo passo:
Passo 5
No método clássico de Runge–Kutta de quarta ordem, definimos
No primeiro passo em
:
No segundo passo em
:
Resposta
As aproximações obtidas em cada método são:
Euler: y(0.5)=1.50000, y(1)=2.26894
Ralston: y(0.5)=1.71116, y(1)=2.06909
Runge–Kutta 2ª ordem (Heun): y(0.5)=1.63447, y(1)=1.95019
Runge–Kutta 4ª ordem: y(0.5)=1.73123, y(1)=2.11941
Euler: y(0.5)=1.50000, y(1)=2.26894
Ralston: y(0.5)=1.71116, y(1)=2.06909
Runge–Kutta 2ª ordem (Heun): y(0.5)=1.63447, y(1)=1.95019
Runge–Kutta 4ª ordem: y(0.5)=1.73123, y(1)=2.11941