Empregue os métodos de Euler, Ralston e Runge-Kutta de segunda e de quarta ordem para os seguintes problemas de valor inicial:
y^prime=cos (2 t)+sin (3 t), 0 <= t <= 1, y(0)=1, h=0,5

Passo 1

Neste exercício temos o problema de valor inicial
y' = cos(2t) + sin(3t), 0 <= t <= 1, y(0)=1,
e queremos aproximar a solução nos nós com passo h=0.5 usando os métodos de Euler, Ralston, Runge-Kutta de segunda ordem (Heun) e Runge-Kutta de quarta ordem.

Passo 2

Para o método de Euler explícito, usamos a fórmula
yn+1 = yn + h,f(tn,yn),
com f(t,y)=cos(2t)+sin(3t). No primeiro passo em t0=0:
f(0,1)=cos(0)+sin(0)=1, y1 = 1 + 0.5cdot1 = 1.5
No segundo passo em t1=0.5:
f(0.5,y1)=cos(1)+sin(1.5)approx1.53788, y2 = 1.5 + 0.5cdot1.53788 approx 2.26894

Passo 3

Para o método de Ralston (um RK de segunda ordem com pesos 1/3 e 2/3), definimos
k1 = f(tn,yn), k2 = fl(tn + tfrac3h4,,yn + tfrac3h4k1r), yn+1 = yn + hl(tfrac13k1 + tfrac23k2r)
Primeiro passo em t0=0:
k1 = 1, k2 = f(0.375,1+0.375cdot1)=cos(0.75)+sin(1.125)approx1.63348, y1=1+0.5(tfrac13cdot1+tfrac23cdot1.63348)approx1.71116
Segundo passo em t1=0.5:
k1 = f(0.5,1.71116)approx1.53788, k2 = f(0.875,1.71116+0.375cdot1.53788)approx0.30483, y2 = 1.71116 + 0.5(tfrac13cdot1.53788+tfrac23cdot0.30483)approx2.06909

Passo 4

No método de Runge–Kutta de segunda ordem (Heun), usamos
k1 = f(tn,yn), k2 = f(tn + h,,yn + h,k1), yn+1 = yn + tfrach2(k1 + k2)
No primeiro passo:
k1 = 1, k2 = f(0.5,1+0.5cdot1)=cos(1)+sin(1.5)approx1.53788, y1 = 1 + 0.25(1 + 1.53788) approx 1.63447
No segundo passo:
k1 = 1.53788, k2 = f(1,1.63447+0.5cdot1.53788)=cos(2)+sin(3)approx-0.27500, y2 = 1.63447 + 0.25(1.53788 - 0.27500) approx 1.95019

Passo 5

No método clássico de Runge–Kutta de quarta ordem, definimos
k1 = f(tn,yn), k2 = fl(tn+tfrach2,yn+tfrach2k1r), k3 = fl(tn+tfrach2,yn+tfrach2k2r), k4 = f(tn+h,yn+h,k3), yn+1 = yn + tfrach6(k1+2k2+2k3+k4)
No primeiro passo em t0=0:
k1=1, k2=k3= f(0.25,cdot) = cos(0.5)+sin(0.75)approx1.55921, k4 = f(0.5)approx1.53788, y1 = 1 + tfrac0.56(1+2cdot1.55921+2cdot1.55921+1.53788)approx1.73123
No segundo passo em t1=0.5:
k1=1.53788, k2=k3= f(0.75) = cos(1.5)+sin(2.25)approx0.84881, k4=f(1)approx-0.27500, y2 = 1.73123 + tfrac0.56(1.53788+2cdot0.84881+2cdot0.84881-0.27500)approx2.11941

Resposta

As aproximações obtidas em cada método são:
Euler: y(0.5)=1.50000, y(1)=2.26894
Ralston: y(0.5)=1.71116, y(1)=2.06909
Runge–Kutta 2ª ordem (Heun): y(0.5)=1.63447, y(1)=1.95019
Runge–Kutta 4ª ordem: y(0.5)=1.73123, y(1)=2.11941

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