Seja
. Provar que
Passo 1
O enunciado define a função auxiliar
e pede para mostrar que o dividindo de
nos pontos
coincide com o dividindo de
nos pontos
. O conteúdo é diferença dividida de Newton e vamos usar indução em
.
Passo 2
Para
, o dividindo de uma função em um único ponto é só o valor da função ali. Logo,
o que mostra o caso base.
Passo 3
Agora suponha que para qualquer lista de tamanho
a igualdade valha, isto é,
e
Passo 4
Pela definição de diferença dividida para
pontos, temos
Passo 5
Substituindo as hipóteses de indução,
que pela própria definição de diferença dividida de
Passo 6
Isso completa a etapa indutiva e prova a igualdade para todo
.