Seja g[y0, y1, ldots, yn]=f[x0, x1, ldots, xk, y0, y1, ldots, yn] . Provar que

Passo 1

O enunciado define a função auxiliar g(x) = f[x0,x1,dots,xk,x] e pede para mostrar que o dividindo de g nos pontos y0,dots,yn coincide com o dividindo de f nos pontos x0,dots,xk,y0,dots,yn. O conteúdo é diferença dividida de Newton e vamos usar indução em n.

Passo 2

Para n=0, o dividindo de uma função em um único ponto é só o valor da função ali. Logo,
g[y0] = g(y0) = f[x0,dots,xk,y0],
o que mostra o caso base.

Passo 3

Agora suponha que para qualquer lista de tamanho n-1 a igualdade valha, isto é,
g[y0,dots,yn-1] = f[x0,dots,xk,y0,dots,yn-1]
e
g[y1,dots,yn] = f[x0,dots,xk,y1,dots,yn]

Passo 4

Pela definição de diferença dividida para n+1 pontos, temos
g[y0,dots,yn] = g[y1,dots,yn] - g[y0,dots,yn-1]yn - y0

Passo 5

Substituindo as hipóteses de indução,
g[y0,dots,yn] = f[x0,dots,xk,y1,dots,yn] - f[x0,dots,xk,y0,dots,yn-1]yn - y0,
que pela própria definição de diferença dividida de f nos pontos x0,dots,xk,y0,dots,yn é exatamente
f[x0,dots,xk,y0,dots,yn]

Passo 6

Isso completa a etapa indutiva e prova a igualdade para todo n.

Resposta

g[y0,dots,yn] = f[x0,dots,xk,y0,dots,yn]

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