Empregue os métodos de Euler, Ralston e Runge-Kutta de segunda e de quarta ordem para os seguintes problemas de valor inicial:

Passo 1

Temos o problema de valor inicial y'=1+ yt+l( ytr)^2, para 1<= t<=2 com y(1)=1 e passo h=0,5. O conteúdo é aplicação de métodos numéricos (Euler, Ralston, RK2 e RK4) para aproximar y(1,5) e y(2). Vamos usar f(t,y)=1+ yt+l( ytr)^2.

Passo 2

No método de Euler, a fórmula é
yn+1=yn + h,f(tn,yn)
Em t0=1, y0=1 temos
f(1,1)=1+1+1=3,
y1=1+0.5cdot3=2.5
Em t1=1.5, y1=2.5 calculamos
f(1.5,2.5)=1+1.6667+2.7778=5.4445,
y2=2.5+0.5cdot5.4445=5.2223

Passo 3

No método de Ralston (RK2 otimizado) usamos
k1=f(tn,yn), k2=fl(tn+tfrac34h,,yn+tfrac34h,k1r),
yn+1=yn + hl(tfrac13k1+tfrac23k2r)
Para a primeira iteração em (1,1):
k1=3,
t*=1.375, y*=1+0.375cdot3=2.125,
k2=f(1.375,2.125)=4.9348,
y1=1+0.5l(tfrac13cdot3+tfrac23cdot4.9348r)=3.1450

Passo 4

Segunda iteração de Ralston em (1.5,3.1450):
k1=f(1.5,3.1450)=7.4933,
t*=1.875, y*=3.1450+0.375cdot7.4933=5.9549,
k2=f(1.875,5.9549)=14.2522,
y2=3.1450+0.5l(tfrac13cdot7.4933+tfrac23cdot14.2522r)=9.1446

Passo 5

No método de Runge–Kutta de segunda ordem (ponto médio) definimos
k1=f(tn,yn), k2=f(tn+tfrac h2,,yn+tfrac h2k1),
yn+1=yn + h,k2
Primeira iteração em (1,1):
k1=3,
t*=1.25, y*=1+0.25cdot3=1.75,
k2=f(1.25,1.75)=4.36,
y1=1+0.5cdot4.36=3.1800

Passo 6

Segunda iteração do método do ponto médio em (1.5,3.18):
k1=f(1.5,3.18)=7.6144,
t*=1.75, y*=3.18+0.25cdot7.6144=5.0836,
k2=f(1.75,5.0836)=12.3454,
y2=3.18+0.5cdot12.3454=9.3527

Passo 7

No método de Runge–Kutta de quarta ordem usamos
k1=f(tn,yn),
k2=fl(tn+tfrac h2,,yn+tfrac h2k1r),
k3=fl(tn+tfrac h2,,yn+tfrac h2k2r),
k4=f(tn+h,,yn+h,k3),
yn+1=yn+tfrac h6l(k1+2k2+2k3+k4r)
Primeira iteração em (1,1):
k1=3, k2=4.36, k3=5.4676, k4=9.6864,
y1=1+tfrac0.56(3+2cdot4.36+2cdot5.4676+9.6864)=3.6951

Passo 8

Segunda iteração de RK4 em (1.5,3.6951):
k1=9.5298, k2=16.5344, k3=25.4880, k4=76.7910,
y2=3.6951+tfrac0.56(9.5298+2cdot16.5344+2cdot25.4880+76.7910)=17.8922

Resposta

Aproximações em t=1,5 e t=2:
Euler: y(1,5)≈2,5000, y(2)≈5,2223
Ralston: y(1,5)≈3,1450, y(2)≈9,1446
RK2 (ponto médio): y(1,5)≈3,1800, y(2)≈9,3527
RK4: y(1,5)≈3,6951, y(2)≈17,8922

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