Empregue os métodos de Euler, Ralston e Runge-Kutta de segunda e de quarta ordem para os seguintes problemas de valor inicial:
Passo 1
Temos o problema de valor inicial
, para
com
e passo
. O conteúdo é aplicação de métodos numéricos (Euler, Ralston, RK2 e RK4) para aproximar
e
. Vamos usar
.
Passo 2
No método de Euler, a fórmula é
Em
temos
Em
calculamos
Passo 3
No método de Ralston (RK2 otimizado) usamos
Para a primeira iteração em
:
Passo 4
Segunda iteração de Ralston em
:
Passo 5
No método de Runge–Kutta de segunda ordem (ponto médio) definimos
Primeira iteração em
:
Passo 6
Segunda iteração do método do ponto médio em
:
Passo 7
No método de Runge–Kutta de quarta ordem usamos
Primeira iteração em
:
Passo 8
Segunda iteração de RK4 em
:
Resposta
Aproximações em t=1,5 e t=2:
Euler: y(1,5)≈2,5000, y(2)≈5,2223
Ralston: y(1,5)≈3,1450, y(2)≈9,1446
RK2 (ponto médio): y(1,5)≈3,1800, y(2)≈9,3527
RK4: y(1,5)≈3,6951, y(2)≈17,8922
Euler: y(1,5)≈2,5000, y(2)≈5,2223
Ralston: y(1,5)≈3,1450, y(2)≈9,1446
RK2 (ponto médio): y(1,5)≈3,1800, y(2)≈9,3527
RK4: y(1,5)≈3,6951, y(2)≈17,8922