Se xk=x0+k h, k=0,1, ldots, mostre que, para todo polinômio P(x)=an x^n+cdots+a0, valem as igualdades:
a) De
e
b) Den.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar propriedades das diferenças finitas aplicadas a um polinômio de grau n. O assunto é diferenças finitas e usaremos a definição de Δ, a expansão binomial e a linearidade para chegar às fórmulas.

Passo 2

Definimos a diferença finita de primeira ordem de uma sequência Pk=P(xk) por\
DeA diferença de ordem m é definida recursivamente por De. Como Δ é linear,\
De

Passo 3

Para lidar com o monômio x^n, usamos a expansão binomial: seja xk=x0+k h, então\
(xk+h)^n=xk^n+sumj=1^nbinomnjxk^n-jh^j e portanto
De

Passo 4

Agora aplicamos Δ repetidas vezes. Note que cada aplicação retira um fator de grau em xk até zerar o monômio. Em particular, para k=0:
De
e para qualquer ordem acima de n, todas as diferenças sucessivas se anulam, ou seja,
Den

Passo 5

Finalmente, escrevendo P(x)=anx^n+cdots+a0 e usando linearidade, obtemos
De
e para m>n
De

Resposta

a) De b) De para m>n

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