Se
, mostre que, para todo polinômio
, valem as igualdades:
a)
b)
.
a)
b)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar propriedades das diferenças finitas aplicadas a um polinômio de grau n. O assunto é diferenças finitas e usaremos a definição de Δ, a expansão binomial e a linearidade para chegar às fórmulas.
Passo 2
Definimos a diferença finita de primeira ordem de uma sequência
por\
Passo 3
Para lidar com o monômio
, usamos a expansão binomial: seja
, então\
Passo 4
Agora aplicamos Δ repetidas vezes. Note que cada aplicação retira um fator de grau em
até zerar o monômio. Em particular, para
:
e para qualquer ordem acima de n, todas as diferenças sucessivas se anulam, ou seja,
Passo 5
Finalmente, escrevendo
e usando linearidade, obtemos
e para
Resposta
a)
b)
para