Sejam xk=x0+k h, k=0,1, ldots Provar que
f[x0, x1, ldots, xk, x]=De

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, quando os nós são igualmente espaçados por h (ou seja, x_k = x_0 + k h), a diferença dividida de ordem n em x_0,…,x_n coincide com a diferença finita Δ^n f_0 dividida por n! h^n. Vamos usar teoria de diferenças divididas e de diferenças finitas e provar isso por indução.

Passo 2

Antes de tudo, anota as definições que vamos usar:
– A diferença dividida de ordem m em x_i,…,x_{i+m} é definida recursivamente por
f[xi,dots,xi+m] = f[xi+1,dots,xi+m] - f[xi,dots,xi+m-1]xi+m-xi
– A diferença finita progressiva de ordem m em f_k = f(x_k) é
De
De

Passo 3

Para o caso base m=1 temos
f[x0,x1] = f1 - f0x1-x0 = f1-f0h = De
que bate com a fórmula desejada quando n=1.

Passo 4

Suponha agora que para algum n≥1 vale
f[x0,dots,xn] = De
(e o mesmo vale em qualquer bloco de n nós consecutivos, em particular em x_1,…,x_{n+1}). Vamos mostrar para n+1:
f[x0,dots,xn+1] = f[x1,dots,xn+1] - f[x0,dots,xn]xn+1-x0

Passo 5

Pelo passo de indução substituímos:
f[x1,dots,xn+1] = De
$$f[x_0,\dots,x_n] = \frac{\Delta^n f_0}{n!,h^n}.
f[x0,dots,xn] = Deã\frac{\Delta^n f_1 - \Delta^n f_0}{n!,h^n} = \frac{\Delta{n+1}f_0}{n!,hn},$$
o denominador é
De
Assim
xn+1-x0 = (n+1)h

Passo 6

Isso completa a indução e prova a fórmula geral para todo n.

Passo 7

Resposta final: a diferença dividida de ordem n em nós equiespaçados vale
f[x0,x1,dots,xn] = De

Resposta

f[x0,x1,ldots,xn]=De

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