Sejam
Provar que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, quando os nós são igualmente espaçados por h (ou seja, x_k = x_0 + k h), a diferença dividida de ordem n em x_0,…,x_n coincide com a diferença finita Δ^n f_0 dividida por n! h^n. Vamos usar teoria de diferenças divididas e de diferenças finitas e provar isso por indução.
Passo 2
Antes de tudo, anota as definições que vamos usar:
– A diferença dividida de ordem m em x_i,…,x_{i+m} é definida recursivamente por
– A diferença dividida de ordem m em x_i,…,x_{i+m} é definida recursivamente por
– A diferença finita progressiva de ordem m em f_k = f(x_k) é
Passo 3
Para o caso base m=1 temos
que bate com a fórmula desejada quando n=1.
Passo 4
Suponha agora que para algum n≥1 vale
(e o mesmo vale em qualquer bloco de n nós consecutivos, em particular em x_1,…,x_{n+1}). Vamos mostrar para n+1:
Passo 5
Pelo passo de indução substituímos:
$$f[x_0,\dots,x_n] = \frac{\Delta^n f_0}{n!,h^n}.
o denominador é
Assim
Passo 6
Isso completa a indução e prova a fórmula geral para todo n.
Passo 7
Resposta final: a diferença dividida de ordem n em nós equiespaçados vale