Empregue os métodos de Euler, Ralston e Runge-Kutta de segunda e de quarta ordem para os seguintes problemas de valor inicial:
Passo 1
A questão é um problema de valor inicial (PVI) dado por y′=−t·y+4·t/y, com y(0)=1/3, no intervalo 0≤t≤1 e passo h=0,5. O conteúdo é integração numérica de EDOs. Vamos usar os métodos de Euler (ordem 1), Ralston (RK de ordem 2 com pesos otimizados), Runge-Kutta de ordem 2 (método do ponto médio) e Runge-Kutta clássico de ordem 4. Para cada um precisamos da fórmula recursiva e avaliar f(t,y)=−t·y+4·t/y nos pontos certos.
Passo 2
Método de Euler: a ideia é aproximar a derivada por diferença. A fórmula é
Para n=0 temos t_0=0, y_0=1/3 e
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No passo seguinte t_1=0,5, y_1=0,3333,
portanto
Passo 3
Método de Ralston (RK2 otimizado): usamos
Para n=0: k_1=0, t_0+2/3·h=1/3, y=1/3,
Agora em t_1=0,5, y_1=1,7917:
Passo 4
Runge–Kutta de 2ª ordem (método do ponto médio):
Para n=0: k_1=0,
Em t_1=0,5, y_1=1,7917:
Passo 5
Runge–Kutta clássico de 4ª ordem: usamos
Para n=0: k_1=0,
Em t_1=0,5, y_1=1,2506:
Resposta
Approximações em t=0,5 e t=1:
Método de Euler: y(0,5)=0,3333, y(1)=3,2500
Método de Ralston: y(0,5)=1,7917, y(1)=1,9067
Runge–Kutta 2ª ordem (ponto médio): y(0,5)=1,7917, y(1)=1,9104
Runge–Kutta 4ª ordem: y(0,5)=1,2506, y(1)=1,6103
Método de Ralston: y(0,5)=1,7917, y(1)=1,9067
Runge–Kutta 2ª ordem (ponto médio): y(0,5)=1,7917, y(1)=1,9104
Runge–Kutta 4ª ordem: y(0,5)=1,2506, y(1)=1,6103