Empregue os métodos de Euler, Ralston e Runge-Kutta de segunda e de quarta ordem para os seguintes problemas de valor inicial:
y^prime=-t y+4 ty, 0 <= t <= 1, y(0)=13, h=0,5

Passo 1

A questão é um problema de valor inicial (PVI) dado por y′=−t·y+4·t/y, com y(0)=1/3, no intervalo 0≤t≤1 e passo h=0,5. O conteúdo é integração numérica de EDOs. Vamos usar os métodos de Euler (ordem 1), Ralston (RK de ordem 2 com pesos otimizados), Runge-Kutta de ordem 2 (método do ponto médio) e Runge-Kutta clássico de ordem 4. Para cada um precisamos da fórmula recursiva e avaliar f(t,y)=−t·y+4·t/y nos pontos certos.

Passo 2

Método de Euler: a ideia é aproximar a derivada por diferença. A fórmula é
yn+1=yn+h,f(tn,yn)
Para n=0 temos t_0=0, y_0=1/3 e
f(0,1/3)=−0·(1/3)+4·0/(1/3)=0
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y1=1/3+0,5·0=1/3≈0,3333
No passo seguinte t_1=0,5, y_1=0,3333,
f(0,5,0,3333)=−0,5·0,3333+4·0,5/0,3333=−0,1667+6=5,8333,
portanto
y2=0,3333+0,5·5,8333=3,2500

Passo 3

Método de Ralston (RK2 otimizado): usamos
k1=f(tn,yn),
k2=fl(tn+tfrac23h,,yn+tfrac23h·k1r),
yn+1=yn+hl(tfrac14k1+tfrac34k2r)
Para n=0: k_1=0, t_0+2/3·h=1/3, y=1/3,
k2=f(1/3,1/3)=−tfrac19+4=3,8889,
y1=1/3+0,5·(3/4·3,8889)=1,7917
Agora em t_1=0,5, y_1=1,7917:
k1=f(0,5,1,7917)=−0,8958+2/1,7917=0,2204,
t1+2/3·h=0,8333, y=1,7917+0,3333·0,2204=1,8651,
k2=f(0,8333,1,8651)=−1,5543+3,3333/1,8651=0,2334,
y2=1,7917+0,5(1/4·0,2204+3/4·0,2334)=1,9067

Passo 4

Runge–Kutta de 2ª ordem (método do ponto médio):
k1=f(tn,yn),
k2=fl(tn+tfrach2,yn+tfrach2k1r),
yn+1=yn+h·k2
Para n=0: k_1=0,
k2=f(0,25,1/3)=−0,0833+3=2,9167,
y1=1/3+0,5·2,9167=1,7917
Em t_1=0,5, y_1=1,7917:
k1=f(0,5,1,7917)=0,2204,
k2=f(0,75,1,7917+0,25·0,2204=1,8478)=−1,3858+3/1,8478=0,2375,
y2=1,7917+0,5·0,2375=1,9104

Passo 5

Runge–Kutta clássico de 4ª ordem: usamos
k1=f(tn,yn),
k2=fl(tn+tfrach2,yn+tfrach2k1r),
k3=fl(tn+tfrach2,yn+tfrach2k2r),
k4=f(tn+h,yn+h·k3),
yn+1=yn+tfrach6(k1+2k2+2k3+k4)
Para n=0: k_1=0,
k2=f(0,25,0,3333)=2,9167,
k3=f(0,25,1,7917)=0,1109,
k4=f(0,5,0,3333+0,5·0,1109=0,3888)=4,9525,
y1=0,3333+0,5·(0+2·2,9167+2·0,1109+4,9525)/6=1,2506
Em t_1=0,5, y_1=1,2506:
k1=f(0,5,1,2506)=0,9739,
k2=f(0,75,1,2506+0,5·0,9739=1,7376)=0,4234,
k3=f(0,75,1,2506+0,5·0,4234=1,4623)=0,9545,
k4=f(1,1,2506+0,5·0,9545=1,7278)=0,5864,
y2=1,2506+0,5·(0,9739+2·0,4234+2·0,9545+0,5864)/6=1,6103

Resposta

Approximações em t=0,5 e t=1:
Método de Euler: y(0,5)=0,3333, y(1)=3,2500
Método de Ralston: y(0,5)=1,7917, y(1)=1,9067
Runge–Kutta 2ª ordem (ponto médio): y(0,5)=1,7917, y(1)=1,9104
Runge–Kutta 4ª ordem: y(0,5)=1,2506, y(1)=1,6103

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