Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias de ordem superior empregando o método RungeKutta de segunda e de quarta ordem:
y^prime prime-2 y^prime+2 y=e^2 t sin (t), 0 <= t <= 1, y(0)=-0,4, y^prime(0)=0,6 ; h=0,5

Passo 1

Nesse exercício vamos resolver a EDO de segunda ordem
y'' - 2y' + 2y = e^2tsin(t), 0 <= t <= 1, y(0) = -0,4, ; y'(0) = 0,6
usando o método de Runge–Kutta de segunda ordem (ponto-médio) e de quarta ordem, com passo h=0,5.

Passo 2

Para aplicar métodos de Runge–Kutta, primeiro transformamos a equação de segunda ordem num sistema de ordem 1. Definimos
x1 = y, x2 = y'
Então
x1' = x2,
x2' = 2x2 - 2x1 + e^2tsin(t)

Passo 3

Método de Runge–Kutta de segunda ordem (ponto-médio):
k1,i = fi(tn, x1,n, x2,n), i=1,2,
k2,i = fil(tn + tfrach2,; x1,n + tfrach2k1,1,; x2,n + tfrach2k1,2r), i=1,2,
xi,n+1 = xi,n + h,k2,i, i=1,2

Passo 4

Primeiro passo de RK2: de t=0 a t=0,5, com x1(0)=-0,4, x2(0)=0,6.
Calculamos
k1,1 = x2(0) = 0,6, k1,2 = 2cdot0,6 - 2(-0,4) + e^0sin0 = 2,0
x1,mid = -0,4 + 0,25cdot0,6 = -0,25, x2,mid = 0,6 + 0,25cdot2,0 = 1,1,
k2,1 = 1,1, k2,2 = 2cdot1,1 - 2(-0,25) + e^0,5sin(0,25) approx 3,10815
x1(0,5) = -0,4 + 0,5cdot1,1 = 0,15, x2(0,5) = 0,6 + 0,5cdot3,10815 approx 2,15408

Passo 5

Segundo passo de RK2: de t=0,5 a t=1,0, com x1(0,5)=0,15, x2(0,5)=2,15408.
k1,1 = 2,15408, k1,2 = 2cdot2,15408 - 2cdot0,15 + e^1sin(0,5) approx 5,31048
x1,mid = 0,15 + 0,25cdot2,15408 approx 0,68852, x2,mid = 2,15408 + 0,25cdot5,31048 approx 3,48170,
k2,1 = 3,48170, k2,2 = 2cdot3,48170 - 2cdot0,68852 + e^1,5sin(0,75) approx 8,63959
x1(1,0) = 0,15 + 0,5cdot3,48170 approx 1,89085, x2(1,0) = 2,15408 + 0,5cdot8,63959 approx 6,47387

Passo 6

Método de Runge–Kutta de quarta ordem:
k1,i = fi(tn, xn),
k2,i = fil(tn + tfrach2, xn + tfrach2k1r),
k3,i = fil(tn + tfrach2, xn + tfrach2k2r),
k4,i = fi(tn + h, xn + h k3),
xn+1 = xn + tfrach6(k1 + 2k2 + 2k3 + k4)

Passo 7

Primeiro passo de RK4: de t=0 a t=0,5, x1(0)=-0,4, x2(0)=0,6.
Após calcular k1,k2,k3,k4
x1(0,5) approx 0,25502, x2(0,5) approx 2,29819

Passo 8

Segundo passo de RK4: de t=0,5 a t=1,0, usando x1(0,5)=0,25502, x2(0,5)=2,29819.
Após calcular os quatro k em cada estágio, obtemos
x1(1,0) approx 2,39298, x2(1,0) approx 7,09458

Resposta

Resultados aproximados:
Método de Runge–Kutta 2ª ordem:
y(0,5) approx 0,1500, y'(0,5) approx 2,1541,
$$y(1{,}0) \approx 1{,}8909,\quad y’(1{,}0) \approx 6{,}4739.
$$
Método de Runge–Kutta 4ª ordem:
y(1,0) approx 1,8909, y'(1,0) approx 6,4739
$$y(1{,}0) \approx 2{,}3930,\quad y’(1{,}0) \approx 7{,}0946.
$$

Exercícios relacionados