Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias de ordem superior empregando o método RungeKutta de segunda e de quarta ordem:
Passo 1
Nesse exercício vamos resolver a EDO de segunda ordem
usando o método de Runge–Kutta de segunda ordem (ponto-médio) e de quarta ordem, com passo
.
Passo 2
Para aplicar métodos de Runge–Kutta, primeiro transformamos a equação de segunda ordem num sistema de ordem 1. Definimos
Então
Passo 3
Método de Runge–Kutta de segunda ordem (ponto-médio):
Passo 4
Primeiro passo de RK2: de
a
, com
,
.
Calculamos
Passo 5
Segundo passo de RK2: de
a
, com
,
.
Passo 6
Método de Runge–Kutta de quarta ordem:
Passo 7
Primeiro passo de RK4: de
a
,
,
.
Após calcular
dá
Passo 8
Segundo passo de RK4: de
a
, usando
,
.
Após calcular os quatro
em cada estágio, obtemos
Resposta
Resultados aproximados:
Método de Runge–Kutta 2ª ordem:
$$y(1{,}0) \approx 1{,}8909,\quad y’(1{,}0) \approx 6{,}4739.
$$
Método de Runge–Kutta 4ª ordem:
$$y(1{,}0) \approx 2{,}3930,\quad y’(1{,}0) \approx 7{,}0946.
$$