Provar que
Passo 1
A questão pede para mostrar que o somatório
vale zero quando
e vale
quando
. Esse é um resultado clássico de diferenças finitas aplicado ao polinômio
. Vamos usar o operador de diferença finita para resolver.
Passo 2
Definimos o operador de diferença finita
por
. Pode-se provar por indução que a iteração
é exatamente
Logo, nosso somatório é
com
.
Passo 3
Quando
é um polinômio de grau
, sabe-se que a
-ésima diferença finita é o polinômio zero. Aqui
tem grau
, então
para todo
. Isso prova o primeiro caso.
Passo 4
Para
, consideramos
. Também por teoria de diferenças finitas (ou expandindo iterativamente), chega-se à conclusão de que
é uma constante igual a
. Em particular,
Portanto o somatório vale
.
Passo 5
Juntando tudo, conclui-se que
Resposta
O valor da soma é zero para
e é
quando
.