Provar que
sumj=0^n(-1)^n-jbinomnj j^k= 0, & k=0,1, ldots, n-1 n!, & k=n

Passo 1

A questão pede para mostrar que o somatório sumj=0^n(-1)^n-jbinomnjj^k vale zero quando k e vale n! quando k=n. Esse é um resultado clássico de diferenças finitas aplicado ao polinômio f(j)=j^k. Vamos usar o operador de diferença finita para resolver.

Passo 2

Definimos o operador de diferença finita De por De. Pode-se provar por indução que a iteração De é exatamente
De
Logo, nosso somatório é De com f(j)=j^k.

Passo 3

Quando f é um polinômio de grau , sabe-se que a n-ésima diferença finita é o polinômio zero. Aqui j^k tem grau k, então
De
para todo k=0,1,dots,n-1. Isso prova o primeiro caso.

Passo 4

Para k=n, consideramos f(j)=j^n. Também por teoria de diferenças finitas (ou expandindo iterativamente), chega-se à conclusão de que
De
é uma constante igual a n!. Em particular,
De
Portanto o somatório vale n!.

Passo 5

Juntando tudo, conclui-se que
sumj=0^n(-1)^n-jbinomnjj^k= 0,&k=0,1,ldots,n-1, n!,&k=n

Resposta

O valor da soma é zero para k=0,1,dots,n-1 e é n! quando k=n.

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