Escolha n (número de subintervalos para dividir o intervalo de integração) o menor valor possível para aplicar a regra 1 / 3 de simpson repetida de modo a obter uma aproximação de I=\int_{0,37}^{0,37+1} e^{x^{2}} \mathrm{dx} com um erro inferior a 0,01 . Coloque o valor aproximado I.

Passo 1

O enunciado pede a aproximação de
I = \int_{0,37}^{1,37} e^{x^{2}} \,\mathrm{d}x
pela regra composta de Simpson 1/3, escolhendo o menor n par tal que o erro fique abaixo de 0,01. Vamos usar a fórmula do erro da regra de Simpson repetida e, em seguida, calcular a aproximação para esse n.

Passo 2

Para a regra composta de Simpson com passo h=(b-a)/n e f(x)=e^{x^{2}}, o erro satisfaz
\lvert E\rvert \le \frac{b-a}{180}\,h^{4}\,\max_{x\in[a,b]} \lvert f^{(4)}(x)\rvert.
Aqui a=0,37, b=1,37, b-a=1 e
f^{(4)}(x) = \bigl(12 + 48x^{2} + 16x^{4}\bigr)\,e^{x^{2}}.

Passo 3

Como x\mapsto f^{(4)}(x) é crescente em [0,37,\,1,37], seu máximo ocorre em x=1,37. Calculamos
M = f^{(4)}(1,37)\approx \bigl(12 + 48\cdot1,37^{2} + 16\cdot1,37^{4}\bigr)\,e^{1,37^{2}} \approx 1{,}036\times 10^{3}.
Assim o erro fica
\lvert E\rvert \le \frac{1}{180}\,\frac{M}{n^{4}} \approx \frac{1\,036}{180\,n^{4}}.

Passo 4

Impondo \lvert E\rvert<0,01, obtém-se
\frac{1\,036}{180\,n^{4}} < 0,01 \quad\Longrightarrow\quad n^{4} > \frac{1\,036}{1{,}8}\approx 576 \quad\Longrightarrow\quad n > \sqrt[4]{576}\approx 4{,}9.
Como n deve ser inteiro par, o menor valor é n=6.

Passo 5

Com n=6, temos h=(1)/6\approx0,1666667 e os pontos
x_{i} = 0,37 + i\,h,\quad i=0,\dots,6.
Calculando f(x_{i})=e^{x_{i}^{2}} e aplicando
I \approx \frac{h}{3}\bigl[f(x_{0})+f(x_{6}) + 4\!\!\sum_{i\text{ ímpar}}f(x_{i}) +2\!\!\sum_{i\text{ par},\,i\ne0,6}f(x_{i})\bigr],í
obtém-se numericamente
I \approx 2{,}6502.

Resposta

O menor n é 6 e a aproximação fica
I \approx 2{,}6502.

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