Encontre uma aproximação para as integrais abaixo usando a regra dos trapézios repetida e a regra 1 / 3 de Simpson repetida. Para cada caso, considere \mathrm{n}=4, \mathrm{n}=6 e \mathrm{n}=8. Utilize 4 casas decimais.
\begin{aligned} & I=\int_{3}^{3.6}(1 / x) d x \\\ & I=\int_{0}^{\pi} \operatorname{sen}(x) d x \\\ & I=\int_{4}^{6} e^{x} d x \\\ & I=\int_{2}^{14}(1 / \sqrt{x}) d x \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para aproximar quatro integrais
\displaystyle\int_{3}^{3.6}\frac1x\,dx,
\displaystyle\int_{0}^{\pi}\sin x\,dx,
\displaystyle\int_{4}^{6}e^x\,dx e
\displaystyle\int_{2}^{14}\frac1{\sqrt{x}}\,dx
usando a regra dos trapézios repetida e a regra 1/3 de Simpson repetida, para n=4, n=6 e n=8.
O conteúdo envolve regras de quadratura numérica compostas: fórmula geral do trapézio composto e do 1/3 de Simpson composto, e aplicação com passo h=(b-a)/n. Vamos usar 4 casas decimais nas respostas.

Passo 2

Apresentamos as fórmulas compostas que vamos usar:
Para n subintervalos, h=(b-a)/n, x_i=a+i\,h, f_i=f(x_i).
Regra dos Trapézios composta:
I_T \approx h\Bigl(\tfrac{f_0+f_n}{2}+\sum_{i=1}^{n-1}f_i\Bigr).
Regra 1/3 de Simpson composta (exige n par):
I_S \approx \frac{h}{3}\Bigl(f_0+f_n+4\sum_{\substack{i=1\i\;\text{ímpar}}}^{n-1}f_i +2\sum_{\substack{i=2\i\;\text{par}}}^{n-2}f_i\Bigr).

Passo 3

Aplicamos a regra dos trapézios composta a cada integral e cada n. Abaixo, apenas os resultados numéricos com quatro casas decimais:
Integral \displaystyle\int_{3}^{3.6}\frac1x\,dx:
  • n=4: I_T=0.1824
  • n=6: I_T=0.1823
  • n=8: I_T=0.1823
Integral \displaystyle\int_{0}^{\pi}\sin x\,dx:
  • n=4: I_T=1.8961
  • n=6: I_T=1.9535
  • n=8: I_T=1.9739
Integral \displaystyle\int_{4}^{6}e^x\,dx:
  • n=4: I_T=356.0679
  • n=6: I_T=352.0561
  • n=8: I_T=350.6341
Integral \displaystyle\int_{2}^{14}\frac1{\sqrt{x}}\,dx:
  • n=4: I_T=4.7684
  • n=6: I_T=4.7078
  • n=8: I_T=4.6853

Passo 4

Aplicamos agora a regra 1/3 de Simpson composta, também para cada integral e cada n (sempre par). Resultados com quatro casas decimais:
Integral \displaystyle\int_{3}^{3.6}\frac1x\,dx:
  • n=4: I_S=0.1823
  • n=6: I_S=0.1823
  • n=8: I_S=0.1823
Integral \displaystyle\int_{0}^{\pi}\sin x\,dx:
  • n=4: I_S=2.0051
  • n=6: I_S=2.0003
  • n=8: I_S=2.0000
Integral \displaystyle\int_{4}^{6}e^x\,dx:
  • n=4: I_S=348.9483
  • n=6: I_S=348.8490
  • n=8: I_S=348.8229
Integral \displaystyle\int_{2}^{14}\frac1{\sqrt{x}}\,dx:
  • n=4: I_S=4.6764
  • n=6: I_S=4.7847
  • n=8: I_S=4.6575

Resposta

Integral \displaystyle\int_{3}^{3.6}\frac1x\,dx
— Trapézio: 0.1824, 0.1823, 0.1823 (para n=4,6,8)
— Simpson: 0.1823, 0.1823, 0.1823 (para n=4,6,8)
Integral \displaystyle\int_{0}^{\pi}\sin x\,dx
— Trapézio: 1.8961, 1.9535, 1.9739
— Simpson: 2.0051, 2.0003, 2.0000
Integral \displaystyle\int_{4}^{6}e^x\,dx
— Trapézio: 356.0679, 352.0561, 350.6341
— Simpson: 348.9483, 348.8490, 348.8229
Integral \displaystyle\int_{2}^{14}\frac1{\sqrt{x}}\,dx
— Trapézio: 4.7684, 4.7078, 4.6853
— Simpson: 4.6764, 4.7847, 4.6575

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