5 A velocidade v(\mathrm{em} \mathrm{m} / \mathrm{s}) de um foguete lançado do solo foi medida quatro vezes, conforme os dados abaixo.
tempo(s) 0 8 20 30 45
velocidade (\mathbf{m} / \mathbf{s}) 0 52 160.5 275 370.3
a) Calcular, usando polinômio interpolador de grau 3, a velocidade aproximada do foguete após 10 segundos do lançamento.
b) Idem para um polinômio interpolador de grau 4 .
c) Estime o erro cometido no caso “a”.

Passo 1

O enunciado fornece as medições (t_i,v_i) em (0,0), (8,52), (20,160{,}5), (30,275), (45,370{,}3). Pede-se:
a) interpolador cúbico pelos quatro primeiros pontos e v(10);
b) interpolador grau 4 por todos os pontos e v(10);
c) estimar o erro do caso a).
Usaremos o método de diferenças divididas de Newton.

Passo 2

Calcular as diferenças divididas até ordem \le3 para os pontos em t=0,8,20,30. Montamos:
f[t_0]=0,\quad f[t_0,t_1]=\frac{52-0}{8-0}=6{,}5,
f[t_0,t_1,t_2]=\frac{9{,}0416667-6{,}5}{20-0}=0{,}12708333,
f[t_0,t_1,t_2,t_3]=\frac{0{,}1094697-0{,}1270833}{30-0}=-0{,}00058712.
O polinômio é
p_3(t)=0+6{,}5\,t+0{,}12708333\,t(t-8)-0{,}00058712\,t(t-8)(t-20).
Para t=10:
p_3(10)=6{,}5\cdot10+0{,}12708333\cdot10\cdot2-0{,}00058712\cdot10\cdot2\cdot(-10)\approx67{,}6591.

Passo 3

Estendemos as diferenças até 4.º ordem incluindo t_4=45:
f[t_3,t_4]=\frac{370{,}3-275}{45-30}=6{,}3533333,\quad f[t_2,t_3,t_4]=\frac{6{,}3533333-11{,}45}{45-20}=-0{,}2038667,
f[t_1,t_2,t_3,t_4]=\frac{-0{,}2038667-0{,}1094697}{45-8}=-0{,}008467,\quad f[t_0,t_1,t_2,t_3,t_4]=\frac{-0{,}008467-(-0{,}00058712)}{45-0}=-0{,}00017511.
Assim
p_4(t)=p_3(t)-0{,}00017511\,t(t-8)(t-20)(t-30).
Logo em t=10:
p_4(10)\approx67{,}6591-0{,}00017511\cdot10\cdot2\cdot(-10)\cdot(-20)\approx66{,}9587.

Passo 4

Estimamos o erro de p_3 em t=10 pela diferença entre as duas aproximações:
E\approx|p_4(10)-p_3(10)|\approx|66{,}9587-67{,}6591|\approx0{,}7004.

Resposta

a) v(10)\approx67{,}66 m/s
b) v(10)\approx66{,}96 m/s
c) erro estimado \approx0{,}70 m/s

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