Encontre a raiz de
no intervalo [5.5;6.5]. Troque -36 por -36.001 e repita.
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Encontre a raiz da equação
no intervalo
.
- Em seguida, troque o coeficiente
por (ou seja, faça ) e repita: encontrar raiz no mesmo intervalo .
Informações dadas:
- Polinômio original é monico de grau
com termo constante . - Intervalo a investigar:
. - Depois há uma pequena perturbação do coeficiente do termo
: .
Passo 2
Identificar rapidamente as raízes do polinômio original (ideia chave).
- Note que
e que os outros coeficientes coincidem com as somas simétricas dos inteiros . Vou verificar as somas essenciais: - Soma dos inteiros de
a :
- Soma dos quadrados:
- A soma das somas por pares (elementar de ordem 2) é
- Soma dos inteiros de
- Esses valores batem com os coeficientes do polinômio: coeficiente de
é , de é , e o termo independente é . - Conclusão (justificativa): o polinômio original é exatamente
Portanto as raízes são exatamente
(todas simples).
Passo 3
Resposta para o polinômio original no intervalo pedido.
- Como as raízes são os inteiros
, no intervalo a única raiz é . - Verificação rápida:
e é uma raiz simples de .
Passo 4
Trabalhando com o polinômio perturbado.
- Chamo o polinômio original de
e o polinômio perturbado de . - A perturbação é apenas no coeficiente de
; então
Isto é
- Estratégia prática para saber se existe raiz em
: usar o Teorema do Valor Intermediário. Se e tiverem sinais opostos então existe pelo menos uma raiz no intervalo; se tiverem mesmo sinal (e nenhum deles for zero), então não há raiz nesse intervalo (pois é contínua). Vou calcular e explicitamente.
Passo 5
Cálculo de
.
- Primeiro calculei
. Os fatores são:
Multiplicando em sequência:
- Agora calculei
. Obtenho
- Então
ou seja
Portanto
.
Passo 6
Cálculo de
.
- Calculei
. Fatores:
e multiplicando:
- Calculei
:
- Assim
ou seja
Portanto
.
Passo 7
Concluindo sobre existência de raiz no intervalo para o polinômio perturbado.
- Encontramos
e . Como é contínua no intervalo, pelo Teorema do Valor Intermediário não há mudança de sinal entre as extremidades; portanto não existe raiz de em . - Complemento elucidativo (como entender por que a raiz em
“sumiu” do intervalo): a perturbação introduzida é pequena no coeficiente, mas multiplicada por em torno de dá um termo numérico grande (por exemplo ), suficiente para deslocar fortemente as raízes. Uma estimativa rápida com um passo de Newton a partir de dá uma nova aproximação da raiz deslocada: -
. -
. -
. - Uma iteração de Newton:
. - Isso mostra que a raiz que antes era
se desloca para cerca de (fora do intervalo ), explicando por que não há raiz nesse intervalo para .
-
Resposta
6
Não existe raiz em para o polinômio com
no lugar de
.
Não existe raiz em