Encontre a raiz de x^{8}-36 x^{7}+546 x^{6}-4536 x^{5}+22449 x^{4}-67284 x^{3}+118124 x^{2} -109584 \mathrm{x}+40320=0 no intervalo [5.5;6.5]. Troque -36 por -36.001 e repita.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Encontre a raiz da equação
x^{8}-36 x^{7}+546 x^{6}-4536 x^{5}+22449 x^{4}-67284 x^{3}+118124 x^{2} -109584 x+40320=0
no intervalo [5{,}5;6{,}5].
  • Em seguida, troque o coeficiente -36 por -36{,}001 (ou seja, faça -36\mapsto -36{,}001) e repita: encontrar raiz no mesmo intervalo [5{,}5;6{,}5].
Informações dadas:
  • Polinômio original é monico de grau 8 com termo constante 40320.
  • Intervalo a investigar: [5{,}5;6{,}5].
  • Depois há uma pequena perturbação do coeficiente do termo x^{7}: -36 \to -36{,}001.

Passo 2

Identificar rapidamente as raízes do polinômio original (ideia chave).
  • Note que 40320=8! e que os outros coeficientes coincidem com as somas simétricas dos inteiros 1,2,\dots,8. Vou verificar as somas essenciais:
    • Soma dos inteiros de 1 a 8:
    1+2+\cdots+8=36.
    • Soma dos quadrados:
    1^{2}+2^{2}+\cdots+8^{2}=204.
    • A soma das somas por pares (elementar de ordem 2) é
    \frac{(1+\cdots+8)^{2}-(1^{2}+\cdots+8^{2})}{2}=\frac{36^{2}-204}{2}=546.
  • Esses valores batem com os coeficientes do polinômio: coeficiente de x^{7} é -36, de x^{6} é 546, e o termo independente é 40320.
  • Conclusão (justificativa): o polinômio original é exatamente
\prod_{k=1}^{8}(x-k)=(x-1)(x-2)\cdots(x-8).
Portanto as raízes são exatamente x=1,2,\dots,8 (todas simples).

Passo 3

Resposta para o polinômio original no intervalo pedido.
  • Como as raízes são os inteiros 1,\dots,8, no intervalo [5{,}5;6{,}5] a única raiz é x=6.
  • Verificação rápida: 6\in[5{,}5;6{,}5] e 6 é uma raiz simples de \prod_{k=1}^{8}(x-k).

Passo 4

Trabalhando com o polinômio perturbado.
  • Chamo o polinômio original de p(x) e o polinômio perturbado de q(x).
  • A perturbação é apenas no coeficiente de x^{7}; então
q(x)=p(x)+\delta a\,x^{7}, \qquad\text{com}\qquad \delta a=-0{,}001.
Isto é
q(x)=p(x)-0{,}001\,x^{7}.
  • Estratégia prática para saber se existe raiz em [5{,}5;6{,}5]: usar o Teorema do Valor Intermediário. Se q(5{,}5) e q(6{,}5) tiverem sinais opostos então existe pelo menos uma raiz no intervalo; se tiverem mesmo sinal (e nenhum deles for zero), então não há raiz nesse intervalo (pois q é contínua). Vou calcular q(5{,}5) e q(6{,}5) explicitamente.

Passo 5

Cálculo de q(5{,}5).
  • Primeiro calculei p(5{,}5)=\prod_{k=1}^{8}(5{,}5-k). Os fatores são:
4{,}5,\;3{,}5,\;2{,}5,\;1{,}5,\;0{,}5,\;-1{,}5,\;-2{,}5,\;-3{,}5.
Multiplicando em sequência:
p(5{,}5)\approx -387{,}59765625.
  • Agora calculei 5{,}5^{7}. Obtenho
5{,}5^{7}\approx152243{,}5234375.
  • Então
q(5{,}5)=p(5{,}5)-0{,}001\cdot 5{,}5^{7}\approx -387{,}59765625 -152{,}243{,}5234375
ou seja
q(5{,}5)\approx -539{,}8411796875.
Portanto q(5{,}5)<0.

Passo 6

Cálculo de q(6{,}5).
  • Calculei p(6{,}5)=\prod_{k=1}^{8}(6{,}5-k). Fatores:
5{,}5,\;4{,}5,\;3{,}5,\;2{,}5,\;1{,}5,\;0{,}5,\;-0{,}5,\;-1{,}5,
e multiplicando:
p(6{,}5)\approx 121{,}81640625.
  • Calculei 6{,}5^{7}:
6{,}5^{7}\approx490222{,}7890625.
  • Assim
q(6{,}5)=p(6{,}5)-0{,}001\cdot 6{,}5^{7}\approx 121{,}81640625 -490{,}222{,}7890625
ou seja
q(6{,}5)\approx -368{,}4063828125.
Portanto q(6{,}5)<0.

Passo 7

Concluindo sobre existência de raiz no intervalo para o polinômio perturbado.
  • Encontramos q(5{,}5)<0 e q(6{,}5)<0. Como q é contínua no intervalo, pelo Teorema do Valor Intermediário não há mudança de sinal entre as extremidades; portanto não existe raiz de q em [5{,}5;6{,}5].
  • Complemento elucidativo (como entender por que a raiz em 6 “sumiu” do intervalo): a perturbação introduzida é pequena no coeficiente, mas multiplicada por x^{7} em torno de x\approx6 dá um termo numérico grande (por exemplo 0{,}001\cdot 6^{7}=279{,}936), suficiente para deslocar fortemente as raízes. Uma estimativa rápida com um passo de Newton a partir de x_{0}=6 dá uma nova aproximação da raiz deslocada:
    • p'(6)=\prod_{j\ne6}(6-j)=240.
    • q(6)=p(6)-0{,}001\cdot 6^{7}=-279{,}936.
    • q'(6)=p'(6)-0{,}001\cdot 7\cdot 6^{6}=240-326{,}592=-86{,}592.
    • Uma iteração de Newton: x_{1}=6-\dfrac{q(6)}{q'(6)}=6-\dfrac{-279{,}936}{-86{,}592}\approx 2{,}7660744.
    • Isso mostra que a raiz que antes era 6 se desloca para cerca de 2{,}77 (fora do intervalo [5{,}5;6{,}5]), explicando por que não há raiz nesse intervalo para q.

Resposta

6
Não existe raiz em [5{,}5;6{,}5] para o polinômio com -36{,}001 no lugar de -36.

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