Encontre argumentos que provem que as seguintes proposições são falsas, se não encontrar, prove que são verdadeiras:
Para todo inteiro positivo \mathrm{n}, \mathrm{n}^{2}+1 é primo.

Passo 1

O enunciado afirma a proposição universal: “para todo inteiro positivo n, n^2+1 é primo”. Em lógica, para refutar um enunciado da forma “ \forall n, P( n)” basta encontrar um contraexemplo, ou seja, um valor de n tal que P(n) seja falso.

Passo 2

Testamos alguns valores iniciais de n para procurar um possível contraexemplo:
  • Para n=1 temos 1^2+1=2, que é primo.
  • Para n=2 temos 2^2+1=5, que é primo.

Passo 3

Agora fazemos n=3:
3^2+1 = 9+1 = 10.
Mas 10 = 2 \cdot 5, é composto, não primo. Logo P(3) falha.

Resposta

A proposição é falsa, pois o contraexemplo n=3 produz 3^2+1=10, que não é primo.

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