Seja
o resto da divisão entre o polinômio
por
. Calcule o valor de
.
Passo 1
Vamos organizar direitinho o que o enunciado dá e o que pede — sem resolver ainda, só para clarear a cabeça.
- O enunciado diz que
é o resto da divisão de por - O que precisamos calcular é o valor de
- Informação relevante que temos à mão (já do enunciado):
tem grau no máximo 3 (pois é um polinômio de grau 3 escrito em coeficientes ), e tem grau 4.
Passo 2
Uma ideia-chave (explicar bem): se um polinômio
tem uma raiz
(ou seja
), e se
é a divisão de
por
(com
), então ao substituir
obtemos
porque
anula o termo
. Em palavras: o resto coincide com o valor do polinômio dividendo nos zeros do divisor. Isso é uma versão geral do teorema do resto. Variables explicados:
é o polinômio que estamos dividindo (
aqui),
é o divisor (
),
é o resto procurado.
Então, se conhecermos as raízes de
, podemos avaliar
nessas raízes para obter valores de
nesses pontos:
Passo 3
Vamos identificar as raízes de
.
Observe a fatoração conhecida
Portanto, as raízes de
são exatamente as raízes da equação
que não são
; ou seja, são as quatro raízes complexas da unidade de quinta ordem diferentes de 1. Chamemos essas raízes de
(os quatro valores com
e
).
Resumo: se
é uma raiz de
então
e
.
Passo 4
Agora avaliamos
nessas raízes
. Temos
Como
, potências de
repetem módulo 5. Então vamos reduzir o expoente
módulo 5.
Calcule
módulo
:
portanto
Isso implica
Logo
Pelo argumento do Passo 2, para cada raiz
de
vale
Passo 5
Temos agora que
para as quatro raízes distintas
de
.
Considere o polinômio
- O grau de
é no máximo 3, e tem grau 1, então . - Para cada raiz
de temos . Portanto tem pelo menos as quatro raízes distintas.
Mas um polinômio não nulo de grau
pode ter no máximo 3 raízes distintas. Como
tem 4 raízes distintas, a única possibilidade é que
seja o polinômio nulo. Assim
Esse é um passo crucial: usando o número de raízes forçamos a igualdade de polinômios.
Passo 6
Agora lemos os coeficientes comparando
Isto dá imediatamente:
Agora calculamos o pedido
Fazendo as contas: