Seja r(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x+d o resto da divisão entre o polinômio P_{1}(x)=x^{2026}-1 por P_{2}(x)=x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1. Calcule o valor de 5 a+4 b-3 c+2 d.

Passo 1

Vamos organizar direitinho o que o enunciado dá e o que pede — sem resolver ainda, só para clarear a cabeça.
  • O enunciado diz que r(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x+d é o resto da divisão de P_{1}(x)=x^{2026}-1por P_{2}(x)=x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1.
  • O que precisamos calcular é o valor de 5a+4b-3c+2d.
  • Informação relevante que temos à mão (já do enunciado): r tem grau no máximo 3 (pois é um polinômio de grau 3 escrito em coeficientes a,b,c,d), e P_{2} tem grau 4.

Passo 2

Uma ideia-chave (explicar bem): se um polinômio Q(x) tem uma raiz \alpha (ou seja Q(\alpha)=0), e se
P(x)=Q(x)\,S(x)+r(x)
é a divisão de P por Q (com \deg r<\deg Q), então ao substituir x=\alpha obtemos
P(\alpha)=r(\alpha),
porque Q(\alpha)=0 anula o termo Q(\alpha)S(\alpha). Em palavras: o resto coincide com o valor do polinômio dividendo nos zeros do divisor. Isso é uma versão geral do teorema do resto. Variables explicados: P é o polinômio que estamos dividindo ( P_{1} aqui), Q é o divisor ( P_{2}), r é o resto procurado.
Então, se conhecermos as raízes de P_{2}, podemos avaliar P_{1} nessas raízes para obter valores de r nesses pontos:
r(\alpha)=P_{1}(\alpha)\quad\text{para cada raiz }\alpha\text{ de }P_{2}.

Passo 3

Vamos identificar as raízes de P_{2}(x)=x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1.
Observe a fatoração conhecida
x^{5}-1=(x-1)(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1).
Portanto, as raízes de P_{2} são exatamente as raízes da equação x^{5}=1 que não são x=1; ou seja, são as quatro raízes complexas da unidade de quinta ordem diferentes de 1. Chamemos essas raízes de \omega (os quatro valores com \omega^{5}=1 e \omega\neq1).
Resumo: se \omega é uma raiz de P_{2} então \omega^{5}=1 e \omega\neq1.

Passo 4

Agora avaliamos P_{1} nessas raízes \omega. Temos
P_{1}(\omega)=\omega^{2026}-1.
Como \omega^{5}=1, potências de \omega repetem módulo 5. Então vamos reduzir o expoente 2026 módulo 5.
Calcule 2026 módulo 5:
2026 = 5\cdot 405 + 1,
portanto
2026 \equiv 1 \pmod{5}.
Isso implica
\omega^{2026}=\omega^{1}=\omega.
Logo
P_{1}(\omega)=\omega-1.
Pelo argumento do Passo 2, para cada raiz \omega de P_{2} vale
r(\omega)=P_{1}(\omega)=\omega-1.

Passo 5

Temos agora que r(\omega)=\omega-1 para as quatro raízes distintas \omega de P_{2}.
Considere o polinômio
s(x)=r(x)-(x-1).
  • O grau de r é no máximo 3, e x-1 tem grau 1, então \deg s\le 3.
  • Para cada raiz \omega de P_{2} temos s(\omega)=r(\omega)-(\omega-1)=0. Portanto s(x) tem pelo menos as quatro raízes \omega distintas.
Mas um polinômio não nulo de grau \le 3 pode ter no máximo 3 raízes distintas. Como s tem 4 raízes distintas, a única possibilidade é que s seja o polinômio nulo. Assim
s(x)\equiv 0 \quad\Rightarrow\quad r(x)=x-1\\ \text{para todo }x.
Esse é um passo crucial: usando o número de raízes forçamos a igualdade de polinômios.

Passo 6

Agora lemos os coeficientes comparando
r(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x+d = x-1.
Isto dá imediatamente:
a=0,\qquad b=0,\qquad c=1,\qquad d=-1.
Agora calculamos o pedido
5a+4b-3c+2d = 5\cdot 0 + 4\cdot 0 -3\cdot 1 + 2\cdot(-1).
Fazendo as contas:
-3 + 2\cdot(-1) = -3 -2 = -5.

Resposta

-5

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