Encontre a decomposição das seguintes matrizes:
b)
Passo 1
Opa, beleza? Então, o enunciado pede pra gente achar a decomposição LU da matriz
A= 5 & 2 & 1 3 & 1 & 1 1 & 1 & 3
Isso faz parte de Álgebra Linear, mais precisamente de como escrever como produto , onde
é triangular inferior com 1’s na diagonal,
é triangular superior.
Para resolver, vamos usar o método de Doolittle, que consiste em construir linha a linha e coluna a coluna, sempre eliminando abaixo da diagonal.
Pela definição de u11=5, u12=2, u13=1 , a primeira linha de ell21=a21u11=35, ell31=a31u11=15 é igual à primeira linha de :
E os fatores vêm de zerar abaixo de :
Passo 3
Agora vamos para a “submatriz” que sobra, recalculando u22=a22-ell21,u12 =1-35cdot2 =1-65 =-15, e u23=a23-ell21,u13 =1-35cdot1 =25 subtraindo o efeito da primeira coluna de ell32 =a32-ell31,u12u22 =1-15cdot2-15 =35-15 =-3 vezes a primeira linha de :
Em seguida, calculamos para zerar abaixo de :
Passo 4
Por fim, determinamos u33 =a33-ell31,u13-ell32,u23 =3-15cdot1-(-3)cdot25 =3-15+65 =4 usando o elemento de menos o produto das entradas já encontradas:
Resposta
As matrizes L= 1 & 0 & 0 35 & 1 & 0 15 & -3 & 1 e U= 5 & 2 & 1 0 & -15 & 25 0 & 0 & 4 e que satisfazem são