Coeficientes das incógnitas (matriz dos coeficientes) e termos independentes:
Linha 1: a_{11}=K,\;a_{12}=2,\;a_{13}=1,\;b_1=0.
Linha 2: a_{21}=1,\;a_{22}=5,\;a_{23}=3,\;b_2=1.
Linha 3: a_{31}=K,\;a_{32}=2,\;a_{33}=-6,\;b_3=2.
Pergunta: encontrar todos os K tais que o critério de Sassenfeld seja satisfeito para a ordem natural das incógnitas (x_1,x_2,x_3).
Passo 2
O que é o critério de Sassenfeld e como usá-lo (aula curta, passo a passo).
O critério de Sassenfeld dá uma condição suficiente para a convergência do método de Gauss–Seidel: se os números \beta_1,\beta_2,\dots,\beta_n calculados abaixo satisfazem \max_i \beta_i<1, então o método de Gauss–Seidel converge para a solução do sistema.
Definição dos \beta_i (para a ordem das equações dada):\beta_1=\frac{1}{|a_{11}|}\sum_{j=2}^{n}|a_{1j}|
a_{ij} é o coeficiente da incógnita x_j na equação i.
|\cdot| é valor absoluto (usado para trabalhar com magnitudes).
\beta_i combina os coeficientes da linha i com os \beta já calculados nas linhas anteriores.
Observação importante: é necessário a_{ii}\neq0 para todos i (pois divide-se por |a_{ii}|). Se algum a_{ii}=0, o critério não pode ser aplicado sem permutar linhas.
Passo 3
Escrever a matriz dos coeficientes A para visualizarmos:
A=\begin{pmatrix} K & 2 & 1\\[4pt] 1 & 5 & 3\\[4pt] K & 2 & -6 \end{pmatrix}.
Confirmando: as entradas a_{11},a_{22},a_{33} (diagonais) são K,\;5,\;-6 respectivamente. Para aplicar Sassenfeld precisamos de K\neq0, pois a_{11}=K.]
Passo 4
Calcular \beta_1 passo a passo:
Pela fórmula,\beta_1=\frac{|a_{12}|+|a_{13}|}{|a_{11}|}=\frac{2+1}{|K|}=\frac{3}{|K|}.
Comentário: aqui já vemos que K não pode ser 0 (divisão por zero). A expressão \beta_1=\dfrac{3}{|K|} decresce quando |K| aumenta.
Passo 5
Calcular \beta_2 usando \beta_1:
Fórmula para i=2:\beta_2=\frac{|a_{21}|\beta_1+|a_{23}|}{|a_{22}|}.
Substituindo os valores |a_{21}|=1,\;|a_{23}|=3,\;|a_{22}|=5 e \beta_1=\dfrac{3}{|K|},\beta_2=\frac{1\cdot\frac{3}{|K|}+3}{5}=\frac{\frac{3}{|K|}+3}{5}.
Podemos reescrever, se preferir,\beta_2=\frac{3}{5}\left(\frac{1}{|K|}+1\right).
Passo 6
Calcular \beta_3 usando \beta_1 e \beta_2:
Fórmula para i=3:\beta_3=\frac{|a_{31}|\beta_1+|a_{32}|\beta_2}{|a_{33}|}.
Aqui |a_{31}|=|K|,\;|a_{32}|=2,\;|a_{33}|=6 (porque a_{33}=-6 e usamos o valor absoluto).
Substituindo \beta_1=\dfrac{3}{|K|}:|a_{31}|\beta_1=|K|\cdot\frac{3}{|K|}=3.(repare que o produto simplifica e fica independente de K, desde que K\neq0).
Substituindo também \beta_2=\dfrac{\tfrac{3}{|K|}+3}{5}:\beta_3=\frac{3+2\cdot\frac{\frac{3}{|K|}+3}{5}}{6}.
Fazer as contas com calma:2\cdot\frac{\frac{3}{|K|}+3}{5}=\frac{\frac{6}{|K|}+6}{5}=\frac{6}{5}\left(\frac{1}{|K|}+1\right).
Colocando sobre um denominador comum e simplificando:3+\frac{6}{5}\left(\frac{1}{|K|}+1\right)=\frac{15}{5}+\frac{6}{5}+\frac{6}{5|K|}=\frac{21}{5}+\frac{6}{5|K|}.
Combinar as três condições. A mais restritiva é |K|>3 (pois 3>\tfrac{3}{2}>\tfrac{2}{3}). Além disso, já vimos que K\neq0 é necessário para definir \beta_1, mas isso está coberto por |K|>3. Logo a condição final para Sassenfeld é