Seja o sistema de equações lineares:
\left\{\begin{array}{c} K+2 x_{2}+x_{3}=0 \\\ x_{1}+5 x_{2}+3 x_{3}=1 \\\ K x_{1}+2 x_{2}-6 x_{3}=2 \end{array}\right.
Determine os valores de K para que o sistema acima satisfaça o critério de convergência de Sassenfeld.

Passo 1

O enunciado pede: determinar os valores de K para os quais o sistema linear abaixo satisfaz o critério de convergência de Sassenfeld.
\left\{\begin{array}{c} K+2 x_{2}+x_{3}=0 \\\ x_{1}+5 x_{2}+3 x_{3}=1 \\\ K x_{1}+2 x_{2}-6 x_{3}=2 \end{array}\right.
Lista das informações extraídas do enunciado:
  • Coeficientes das incógnitas (matriz dos coeficientes) e termos independentes:
    • Linha 1: a_{11}=K,\;a_{12}=2,\;a_{13}=1,\;b_1=0.
    • Linha 2: a_{21}=1,\;a_{22}=5,\;a_{23}=3,\;b_2=1.
    • Linha 3: a_{31}=K,\;a_{32}=2,\;a_{33}=-6,\;b_3=2.
  • Pergunta: encontrar todos os K tais que o critério de Sassenfeld seja satisfeito para a ordem natural das incógnitas (x_1,x_2,x_3).

Passo 2

O que é o critério de Sassenfeld e como usá-lo (aula curta, passo a passo).
  • O critério de Sassenfeld dá uma condição suficiente para a convergência do método de Gauss–Seidel: se os números \beta_1,\beta_2,\dots,\beta_n calculados abaixo satisfazem \max_i \beta_i<1, então o método de Gauss–Seidel converge para a solução do sistema.
  • Definição dos \beta_i (para a ordem das equações dada): \beta_1=\frac{1}{|a_{11}|}\sum_{j=2}^{n}|a_{1j}|
\beta_i=\frac{1}{|a_{ii}|}\left(\sum_{j=1}^{i-1}|a_{ij}|\beta_j+\sum_{j=i+1}^{n}|a_{ij}|\right),\quad i=2,\dots,n.
Explicando cada símbolo:
  • a_{ij} é o coeficiente da incógnita x_j na equação i.
  • |\cdot| é valor absoluto (usado para trabalhar com magnitudes).
  • \beta_i combina os coeficientes da linha i com os \beta já calculados nas linhas anteriores.
  • Observação importante: é necessário a_{ii}\neq0 para todos i (pois divide-se por |a_{ii}|). Se algum a_{ii}=0, o critério não pode ser aplicado sem permutar linhas.

Passo 3

Escrever a matriz dos coeficientes A para visualizarmos:
A=\begin{pmatrix} K & 2 & 1\\[4pt] 1 & 5 & 3\\[4pt] K & 2 & -6 \end{pmatrix}.
Confirmando: as entradas a_{11},a_{22},a_{33} (diagonais) são K,\;5,\;-6 respectivamente. Para aplicar Sassenfeld precisamos de K\neq0, pois a_{11}=K.]

Passo 4

Calcular \beta_1 passo a passo:
  • Pela fórmula, \beta_1=\frac{|a_{12}|+|a_{13}|}{|a_{11}|}=\frac{2+1}{|K|}=\frac{3}{|K|}.
  • Comentário: aqui já vemos que K não pode ser 0 (divisão por zero). A expressão \beta_1=\dfrac{3}{|K|} decresce quando |K| aumenta.

Passo 5

Calcular \beta_2 usando \beta_1:
  • Fórmula para i=2: \beta_2=\frac{|a_{21}|\beta_1+|a_{23}|}{|a_{22}|}.
  • Substituindo os valores |a_{21}|=1,\;|a_{23}|=3,\;|a_{22}|=5 e \beta_1=\dfrac{3}{|K|}, \beta_2=\frac{1\cdot\frac{3}{|K|}+3}{5}=\frac{\frac{3}{|K|}+3}{5}.
  • Podemos reescrever, se preferir, \beta_2=\frac{3}{5}\left(\frac{1}{|K|}+1\right).

Passo 6

Calcular \beta_3 usando \beta_1 e \beta_2:
  • Fórmula para i=3: \beta_3=\frac{|a_{31}|\beta_1+|a_{32}|\beta_2}{|a_{33}|}.
  • Aqui |a_{31}|=|K|,\;|a_{32}|=2,\;|a_{33}|=6 (porque a_{33}=-6 e usamos o valor absoluto).
  • Substituindo \beta_1=\dfrac{3}{|K|}: |a_{31}|\beta_1=|K|\cdot\frac{3}{|K|}=3.(repare que o produto simplifica e fica independente de K, desde que K\neq0).
  • Substituindo também \beta_2=\dfrac{\tfrac{3}{|K|}+3}{5}: \beta_3=\frac{3+2\cdot\frac{\frac{3}{|K|}+3}{5}}{6}.
  • Fazer as contas com calma: 2\cdot\frac{\frac{3}{|K|}+3}{5}=\frac{\frac{6}{|K|}+6}{5}=\frac{6}{5}\left(\frac{1}{|K|}+1\right).
\text{Então }\beta_3=\frac{3+\frac{6}{5}\left(\frac{1}{|K|}+1\right)}{6}.ã
  • Colocando sobre um denominador comum e simplificando: 3+\frac{6}{5}\left(\frac{1}{|K|}+1\right)=\frac{15}{5}+\frac{6}{5}+\frac{6}{5|K|}=\frac{21}{5}+\frac{6}{5|K|}.
\beta_3=\frac{\frac{21}{5}+\frac{6}{5|K|}}{6}=\frac{21+\frac{6}{|K|}}{30}=\frac{7+\frac{2}{|K|}}{10}.
  • Portanto, \beta_3=\frac{7+\tfrac{2}{|K|}}{10}.

Passo 7

Aplicar a condição de Sassenfeld \max(\beta_1,\beta_2,\beta_3)<1. Vamos resolver cada desigualdade separadamente (todas em termos de |K|):
  1. \beta_1<1:
\frac{3}{|K|}<1 \quad\Longrightarrow\quad |K|>3.
  1. \beta_2<1:
\frac{\frac{3}{|K|}+3}{5}<1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{3}{|K|}+3<5 \quad\Longrightarrow\quad \frac{3}{|K|}<2 \quad\Longrightarrow\quad |K|>\frac{3}{2}.
  1. \beta_3<1:
\frac{7+\tfrac{2}{|K|}}{10}<1 \quad\Longrightarrow\quad 7+\frac{2}{|K|}<10 \quad\Longrightarrow\quad \frac{2}{|K|}<3 \quad\Longrightarrow\quad |K|>\frac{2}{3}.

Passo 8

Combinar as três condições. A mais restritiva é |K|>3 (pois 3>\tfrac{3}{2}>\tfrac{2}{3}). Além disso, já vimos que K\neq0 é necessário para definir \beta_1, mas isso está coberto por |K|>3. Logo a condição final para Sassenfeld é
|K|>3,
ou seja K>3 ou K<-3.

Resposta

K>3 ou K<-3

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