Encontre a derivada de y em relação a x:
f(x)=\left(\frac{x+1}{1-x}\right)^{2}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\Bigl(\frac{x+1}{1-x}\Bigr)^{2}.
Aqui vamos usar a regra da cadeia para a potência e a regra do quociente para derivar a parte interna. Definimos
u(x)=\frac{x+1}{1-x},
de modo que f(x)=u(x)^{2}.

Passo 2

Para aplicar a regra da cadeia, precisamos de u'(x). Usando a regra do quociente em
u(x)=\frac{x+1}{1-x},
temos
u'(x) =\frac{(1)\cdot(1-x)-(x+1)\cdot(-1)}{(1-x)^{2}} =\frac{1-x+x+1}{(1-x)^{2}} =\frac{2}{(1-x)^{2}}.

Passo 3

Agora aplicamos a regra da cadeia em f(x)=u(x)^{2}. A derivada é
f'(x)=2\,u(x)\,u'(x).
Substituindo u(x) e u'(x), fica
f'(x)=2\cdot\frac{x+1}{1-x}\cdot\frac{2}{(1-x)^{2}}.

Passo 4

Bastou reorganizar fatores para simplificar:
f'(x)=\frac{4\,(x+1)}{(1-x)^{3}}.

Resposta

f'(x)=\frac{4\,(x+1)}{(1-x)^{3}}.

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