\mathbf{3}^{\mathrm{a}} Questão: Em uma fábrica, aproximadamente q(t)=t^{2}+50 t unidades são produzidas durante as primeiras thoras de uma jornada de trabalho e o custo total para produzir q unidades é C(q)=0,1 q^{2}+10 q+400 reais. Determine a taxa de aumento do custo de produção 2 horas após iniciada a jornada de trabalho.

Passo 1

O enunciado dá a quantidade produzida em função do tempo
q(t)=t^{2}+50\,t
e o custo total em função da produção
C(q)=0,1\,q^{2}+10\,q+400.
Queremos a taxa de variação do custo em relação ao tempo, ou seja
\frac{dC}{dt}
no instante t=2 horas. Para isso usaremos a regra da cadeia:
\frac{dC}{dt}=C'(q)\,\frac{dq}{dt}.

Passo 2

Calcular a derivada de q(t). Como
q(t)=t^{2}+50\,t,
temos
\frac{dq}{dt}=2\,t+50.

Passo 3

Calcular a derivada de C(q). Como
C(q)=0,1\,q^{2}+10\,q+400,
temos
C'(q)=0,2\,q+10.

Passo 4

Avaliar \frac{dq}{dt} e C'(q) em t=2. Primeiro
q(2)=2^{2}+50\cdot2=4+100=104,
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\frac{dq}{dt}\Big|_{t=2}=2\cdot2+50=54.
E
C'(q)\Big|_{q=104}=0,2\cdot104+10=20,8+10=30,8.

Passo 5

Aplicar a regra da cadeia em t=2:
\frac{dC}{dt}\Big|_{t=2}=C'(q(2))\;\frac{dq}{dt}\Big|_{t=2}=30,8\cdot54=1\,663,2.

Resposta

A taxa de aumento do custo 2 horas após o início é de 1\,663,2 reais por hora.

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