Encontre a função polinomial
que interpole os pontos tabelados a seguir, sendo ela da maior ordem possível. As letras (a) e (b) devem ser interpoladas utilizando-se a solução convencional de sistemas lineares (e.g. pelo Método de Eliminação de Gauss).
x
-3
1
4
10
5
-2
| x | -3 | 1 | 4 |
|
|
10 | 5 | -2 |
Passo 1
O enunciado dá três pontos tabelados e pede uma função polinomial
que interpole esses pontos, sendo de ordem máxima possível (ou seja, o maior grau que faça sentido com a informação disponível). Os dados são:
- Pontos:
, e .
O que se pede:
- Encontrar um polinômio
que satisfaça , e . - Usar a solução convencional por sistemas lineares (eliminação de Gauss) para determinar os coeficientes.
Passo 2
Escolha do modelo e justificativa curta (sem assumir conhecimento prévio):
- Com três pontos com abscissas distintas, o polinômio interpolador de maior grau útil e que é único tem grau no máximo
(um polinômio quadrático). Explicando informalmente: pontos determinam, em geral, um polinômio de grau até porque um polinômio quadrático tem três coeficientes livres. - Portanto vamos assumir a forma geral
onde
são coeficientes desconhecidos que vamos determinar resolvendo um sistema linear obtido ao substituir cada ponto na expressão de
.
Passo 3
Montar o sistema linear substituindo cada ponto em
.
Para
com
:
Para
com
:
Para
com
:
Escrevendo o sistema na forma matricial aumentada (colunas correspondem a
e a coluna à direita é o termo independente):
]
Passo 4
Aplicar Eliminação de Gauss. Primeiro, trocar a primeira linha pela segunda para ter pivô
(facilita contas):
Agora zerar as entradas abaixo do pivô
na primeira coluna:
-
. -
.
Calculemos cada linha:
Para :
Para
Para
:
A matriz fica:
]
Passo 5
Continuar eliminação com o segundo pivô (coluna
). Podemos eliminar a entrada de
na coluna 2 subtraindo
:
Calcule:
A matriz triangularizada fica:
]
Passo 6
Fazer retro-substituição (back substitution) para encontrar
,
e
.
Da terceira linha:
Da segunda linha:
Isolando
:
Substituindo
:
Logo
portanto
Da primeira linha:
Substituindo
e
:
Então
Passo 7
Resumo dos coeficientes encontrados:
Podemos escrever o polinômio de maneira direta ou fatorando o denominador comum
:
É sempre bom checar rapidamente (substituindo
) que os valores batem com os dados; se substituir, obtém-se
respectivamente (confere).