Encontre a função polinomial p_{n}(x) que interpole os pontos tabelados a seguir, sendo ela da maior ordem possível. As letras (a) e (b) devem ser interpoladas utilizando-se a solução convencional de sistemas lineares (e.g. pelo Método de Eliminação de Gauss).
x -3 1 4
f(x) 10 5 -2

Passo 1

O enunciado dá três pontos tabelados e pede uma função polinomial p_{n}(x) que interpole esses pontos, sendo de ordem máxima possível (ou seja, o maior grau que faça sentido com a informação disponível). Os dados são:
  • Pontos: (-3,10), (1,5) e (4,-2).
O que se pede:
  • Encontrar um polinômio p_{n}(x) que satisfaça p_{n}(-3)=10, p_{n}(1)=5 e p_{n}(4)=-2.
  • Usar a solução convencional por sistemas lineares (eliminação de Gauss) para determinar os coeficientes.

Passo 2

Escolha do modelo e justificativa curta (sem assumir conhecimento prévio):
  • Com três pontos com abscissas distintas, o polinômio interpolador de maior grau útil e que é único tem grau no máximo 2 (um polinômio quadrático). Explicando informalmente: 3 pontos determinam, em geral, um polinômio de grau até 2 porque um polinômio quadrático tem três coeficientes livres.
  • Portanto vamos assumir a forma geral
p(x)=ax^{2}+bx+c,
onde \,a,b,c são coeficientes desconhecidos que vamos determinar resolvendo um sistema linear obtido ao substituir cada ponto na expressão de p.

Passo 3

Montar o sistema linear substituindo cada ponto em p(x)=ax^{2}+bx+c.
Para x=-3 com f(x)=10:
9a-3b+c=10.
Para x=1 com f(x)=5:
a+b+c=5.
Para x=4 com f(x)=-2:
16a+4b+c=-2.
Escrevendo o sistema na forma matricial aumentada (colunas correspondem a a,b,c e a coluna à direita é o termo independente):
\begin{pmatrix} 9 & -3 & 1 & \vline & 10\\[4pt] 1 & 1 & 1 & \vline & 5\\[4pt] 16 & 4 & 1 & \vline & -2 \end{pmatrix}]

Passo 4

Aplicar Eliminação de Gauss. Primeiro, trocar a primeira linha pela segunda para ter pivô 1 (facilita contas):
R_1 \leftrightarrow R_2 \quad\Rightarrow\quad \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & \vline & 5\\[4pt] 9 & -3 & 1 & \vline & 10\\[4pt] 16 & 4 & 1 & \vline & -2 \end{pmatrix}
Agora zerar as entradas abaixo do pivô 1 na primeira coluna:
  • R_2 \leftarrow R_2 - 9R_1.
  • R_3 \leftarrow R_3 - 16R_1.
Calculemos cada linha:
Para R_2:
9-9\cdot1=0,\quad -3-9\cdot1=-12,\quad 1-9\cdot1=-8,\quad 10-9\cdot5=10-45=-35.
Para R_3:
16-16\cdot1=0,\quad 4-16\cdot1=-12,\quad 1-16\cdot1=-15,\quad -2-16\cdot5=-2-80=-82.
A matriz fica:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & \vline & 5\\[4pt] 0 & -12 & -8 & \vline & -35\\[4pt] 0 & -12 & -15 & \vline & -82 \end{pmatrix}]

Passo 5

Continuar eliminação com o segundo pivô (coluna b). Podemos eliminar a entrada de R_3 na coluna 2 subtraindo R_2:
R_3 \leftarrow R_3 - R_2.
Calcule:
0-0=0,\quad -12-(-12)=0,\quad -15-(-8)=-7,\quad -82-(-35)=-47.
A matriz triangularizada fica:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & \vline & 5\\[4pt] 0 & -12 & -8 & \vline & -35\\[4pt] 0 & 0 & -7 & \vline & -47 \end{pmatrix}]

Passo 6

Fazer retro-substituição (back substitution) para encontrar c, b e a.
Da terceira linha:
-7c=-47 \quad\Rightarrow\quad c=\frac{47}{7}.
Da segunda linha:
-12b-8c=-35.
Isolando b:
-12b=-35+8c \quad\Rightarrow\quad b=\frac{35-8c}{12}.
Substituindo c=\dfrac{47}{7}:
8c=8\cdot\frac{47}{7}=\frac{376}{7},\qquad 35=\frac{245}{7}.
Logo
35-8c=\frac{245}{7}-\frac{376}{7}=-\frac{131}{7},
portanto
b=\frac{-\tfrac{131}{7}}{12}=-\frac{131}{84}.
Da primeira linha:
a+b+c=5 \quad\Rightarrow\quad a=5-b-c.
Substituindo b=-\dfrac{131}{84} e c=\dfrac{47}{7}:
5= \frac{420}{84},\qquad c=\frac{47}{7}=\frac{564}{84}.
Então
a=\frac{420}{84}-\left(-\frac{131}{84}\right)-\frac{564}{84}=\frac{420+131-564}{84}=\frac{-13}{84}.

Passo 7

Resumo dos coeficientes encontrados:
a=-\frac{13}{84},\qquad b=-\frac{131}{84},\qquad c=\frac{47}{7}.
Podemos escrever o polinômio de maneira direta ou fatorando o denominador comum 84:
p(x)=-\frac{13}{84}x^{2}-\frac{131}{84}x+\frac{47}{7} \quad\text{ou}\quad p(x)=\frac{-13x^{2}-131x+564}{84}.
É sempre bom checar rapidamente (substituindo x=1,4,-3) que os valores batem com os dados; se substituir, obtém-se 5,-2,10 respectivamente (confere).

Resposta

p(x)=-\frac{13}{84}x^{2}-\frac{131}{84}x+\frac{47}{7}

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