Encontre o intervalo de convergência e teste a convergência nos extremos desse intervalo:
\quad \sum_{n=1}^{\infty} x^{n!}

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} x^{n!}
e pede duas coisas: (i) encontrar o intervalo de valores de x (valores reais) para os quais a série converge; (ii) testar a convergência nos extremos desse intervalo. As informações relevantes que temos são apenas a expressão dos termos a_n(x)=x^{n!} para cada n.

Passo 2

Vou usar um teste geral e útil para séries: o Teste da Raiz (root test). Vou explicar ele com calma.
O Teste da Raiz diz o seguinte para uma série com termos a_n:
L=\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}.
  • Se L<1 a série converge absolutamente.
  • Se L>1 a série diverge.
  • Se L=1 o teste é inconclusivo.
Agora aplico o teste à nossa série: a_n=x^{n!}. Calculo a n-ésima raiz do módulo do termo:
\sqrt[n]{|a_n|}=\sqrt[n]{|x|^{n!}}=|x|^{\frac{n!}{n}}=|x|^{(n-1)!}.
Aqui usei que \dfrac{n!}{n}=(n-1)!. Esse passo é só álgebra simples sobre fatoriais.

Passo 3

Analiso o comportamento da sequência |x|^{(n-1)!} quando n\to\infty, separando os casos por |x|.
Caso |x|<1: escreva |x|=c com 0\le c<1. Como (n-1)!\to\infty muito rápido quando n\to\infty, temos
|x|^{(n-1)!}=c^{(n-1)!}\longrightarrow 0.
Logo \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=0<1. Pelo Teste da Raiz a série converge absolutamente para todo |x|<1. Comentário intuitivo: as potências x^{n!} vão a zero “duas vezes rápido” porque o expoente cresce fatoriosamente.

Passo 4

Caso |x|>1: escreva |x|=c com c>1. Como (n-1)!\to\infty, temos
|x|^{(n-1)!}=c^{(n-1)!}\longrightarrow +\infty.
Logo \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=+\infty>1. Pelo Teste da Raiz a série diverge para todo |x|>1. Intuição: os termos não tendem a zero, são enormes, impossível somar.

Passo 5

O Teste da Raiz já nos dá que a série converge absolutamente para todos os x com |x|<1 e diverge para todos os x com |x|>1. Resta analisar os casos |x|=1, onde o teste foi inconclusivo.

Passo 6

Analisar o extremo x=1. Substituindo:
x^{n!}=1^{n!}=1\quad\text{para todo }n.
A série fica \sum_{n=1}^{\infty} 1, que é a soma de infinitos 1s; claramente diverge (os termos não vão a zero e as somas parciais tendem a +\infty). Há um princípio básico: uma condição necessária para que uma série convirja é que seus termos tendam a zero; aqui isso não acontece.

Passo 7

Analisar o extremo x=-1. Substituindo:
(-1)^{n!}.
Observe a paridade de n!: para n=1 temos 1!=1 ímpar, então o termo é (-1)^1=-1. Para n\ge 2 o fatorial n! contém o fator 2, logo é par, e assim (-1)^{n!}=1. Portanto a sequência dos termos é
-1,\,1,\,1,\,1,\,\dots
Novamente os termos não tendem a zero (a partir de n=2 são sempre 1), logo a série \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n!} diverge (as somas parciais crescem sem limite). Conclusão: diverge em x=-1.

Passo 8

Juntando tudo: a série converge absolutamente para todo x com |x|<1, e diverge para |x|\ge 1. Em termos de intervalo de convergência (no eixo real) isso significa intervalo aberto (-1,1), com divergência nos dois extremos x=-1 e x=1.

Resposta

Intervalo de convergência: (-1,1).
Convergência em x=1: diverge.
Convergência em x=-1: diverge.

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