Encontre o intervalo de convergência e teste a convergência nos extremos desse intervalo:
Passo 1
O enunciado nos dá a série
e pede duas coisas: (i) encontrar o intervalo de valores de
(valores reais) para os quais a série converge; (ii) testar a convergência nos extremos desse intervalo. As informações relevantes que temos são apenas a expressão dos termos
para cada
.
Passo 2
Vou usar um teste geral e útil para séries: o Teste da Raiz (root test). Vou explicar ele com calma.
O Teste da Raiz diz o seguinte para uma série com termos
:
- Se
a série converge absolutamente. - Se
a série diverge. - Se
o teste é inconclusivo.
Agora aplico o teste à nossa série:
. Calculo a
-ésima raiz do módulo do termo:
Aqui usei que
. Esse passo é só álgebra simples sobre fatoriais.
Passo 3
Analiso o comportamento da sequência
quando
, separando os casos por
.
Caso
: escreva
com
. Como
muito rápido quando
, temos
Logo
. Pelo Teste da Raiz a série converge absolutamente para todo
. Comentário intuitivo: as potências
vão a zero “duas vezes rápido” porque o expoente cresce fatoriosamente.
Passo 4
Caso
: escreva
com
. Como
, temos
Logo
. Pelo Teste da Raiz a série diverge para todo
. Intuição: os termos não tendem a zero, são enormes, impossível somar.
Passo 5
O Teste da Raiz já nos dá que a série converge absolutamente para todos os
com
e diverge para todos os
com
. Resta analisar os casos
, onde o teste foi inconclusivo.
Passo 6
Analisar o extremo
. Substituindo:
A série fica
, que é a soma de infinitos
s; claramente diverge (os termos não vão a zero e as somas parciais tendem a
). Há um princípio básico: uma condição necessária para que uma série convirja é que seus termos tendam a zero; aqui isso não acontece.
Passo 7
Analisar o extremo
. Substituindo:
Observe a paridade de
: para
temos
ímpar, então o termo é
. Para
o fatorial
contém o fator
, logo é par, e assim
. Portanto a sequência dos termos é
Novamente os termos não tendem a zero (a partir de
são sempre
), logo a série
diverge (as somas parciais crescem sem limite). Conclusão: diverge em
.
Passo 8
Juntando tudo: a série converge absolutamente para todo
com
, e diverge para
. Em termos de intervalo de convergência (no eixo real) isso significa intervalo aberto
, com divergência nos dois extremos
e
.
Resposta
Intervalo de convergência:
.
Convergência em : diverge.
Convergência em : diverge.
Convergência em
Convergência em