Encontre intervalos contendo soluções para as seguintes equações
x^{3}-2 x^{2}-4 x+2=0.

Passo 1

O enunciado pede para determinar intervalos nos quais cada raiz real da equação
x^{3} - 2x^{2} - 4x + 2 = 0
se encontra. O conteúdo envolvido é o Teorema do Valor Intermediário aplicado a polinômios — como um polinômio é contínuo em \mathbb{R}, basta achar pontos onde o sinal de f(x) muda para garantir a existência de uma raiz naquele intervalo.

Passo 2

Definimos a função
f(x) = x^{3} - 2x^{2} - 4x + 2.
Como f é polinomial, ela é contínua em todo \mathbb{R}, então, sempre que f(a) e f(b) tiverem sinais opostos em a<b, existirá pelo menos uma raiz de f(x)=0 em (a,b).

Passo 3

Vamos avaliar f(x) em x=-2 e em x=-1:
f(-2) = (-2)^{3} - 2(-2)^{2} - 4(-2) + 2 = -8 - 8 + 8 + 2 = -6,
f(-1) = (-1)^{3} - 2(-1)^{2} - 4(-1) + 2 = -1 - 2 + 4 + 2 = 3.
Aqui f(-2)<0 e f(-1)>0, logo existe uma raiz em (-2,-1).

Passo 4

Agora avaliamos em x=0 e em x=1:
f(0) = 0^{3} - 2\cdot 0^{2} - 4\cdot0 + 2 = 2,
f(1) = 1^{3} - 2\cdot1^{2} - 4\cdot1 + 2 = 1 - 2 - 4 + 2 = -3.
Como f(0)>0 e f(1)<0, há uma raiz em (0,1).

Passo 5

Finalmente, avaliamos em x=3 e em x=4:
f(3) = 3^{3} - 2\cdot3^{2} - 4\cdot3 + 2 = 27 - 18 - 12 + 2 = -1,
f(4) = 4^{3} - 2\cdot4^{2} - 4\cdot4 + 2 = 64 - 32 - 16 + 2 = 18.
Aqui f(3)<0 e f(4)>0, portanto há uma raiz em (3,4).

Resposta

As três raízes reais de x^{3}-2x^{2}-4x+2=0 estão localizadas nos intervalos
(-2,-1),\quad (0,1)\quad\text{e}\quad(3,4).

Exercícios relacionados