Verifique que o problema de encontrar uma raiz da função f(x)=x^{4}+2 x^{2}-x-3 é equivalente a encontrar um ponto fixo para cada uma das funções abaixo.
g_{3}(x)=\left(\frac{x+3}{x^{2}+2}\right)^{\frac{1}{2}}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que resolver
f(x)=x^{4}+2x^{2}-x-3=0
é o mesmo que encontrar um ponto fixo de
g_{3}(x)=\Bigl(\frac{x+3}{x^{2}+2}\Bigr)^{\frac12}.
O conteúdo envolvido é teoria de iteração de ponto fixo: basta reescrever f(x)=0 como x=g_{3}(x).

Passo 2

Suponha que x seja ponto fixo de g_{3}, isto é
x = \Bigl(\frac{x+3}{x^{2}+2}\Bigr)^{\frac12}.
Elevando ambos os lados ao quadrado, vem
x^{2} = \frac{x+3}{x^{2}+2}.
Multiplicando por x^{2}+2 obtemos
x^{2}(x^{2}+2) = x + 3 \quad\Longrightarrow\quad x^{4} + 2x^{2} - x - 3 = 0,
que é exatamente f(x)=0.

Passo 3

Reciprocamente, se f(x)=0 então
x^{4} + 2x^{2} - x - 3 = 0
implica
x^{2}(x^{2}+2) = x+3 \quad\Longrightarrow\quad x^{2} = \frac{x+3}{x^{2}+2},
e, tomando a raiz quadrada (ramo não–negativo),
x = \sqrt{\frac{x+3}{x^{2}+2}} = g_{3}(x).
Note que esse passo exige escolher o sinal positivo da raiz para coincidir com a definição de g_{3}.

Resposta

Resolver f(x)=0 é equivalente a encontrar x tal que
x = g_{3}(x) = \Bigl(\tfrac{x+3}{x^{2}+2}\Bigr)^{\frac12}.

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