Sejam x, y \in \mathbb{R}^{n} tais que \|x-y\|_{2}=\|x+y\|_{2}. O que é x^{T} y ?

Passo 1

O enunciado diz que para x,y\in\mathbb{R}^n temos
\|x-y\|_{2} = \|x+y\|_{2},
e pede para descobrir o valor de x^T y. Vamos usar a definição de norma euclidiana em termos de produto interno: \|u\|_{2}^2 = u^T u.

Passo 2

Escrevemos as normas ao quadrado para poder usar o produto interno:
\|x-y\|_{2}^2 = (x-y)^T(x-y) = x^T x - 2\,x^T y + y^T y,
\|x+y\|_{2}^2 = (x+y)^T(x+y) = x^T x + 2\,x^T y + y^T y.

Passo 3

Como \|x-y\|_{2} = \|x+y\|_{2}, temos
\|x-y\|_{2}^2 = \|x+y\|_{2}^2 \quad\Longrightarrow\quad x^T x - 2\,x^T y + y^T y = x^T x + 2\,x^T y + y^T y.
Cancelando x^T x e y^T y de ambos os lados sobra
-2\,x^T y = 2\,x^T y \quad\Longrightarrow\quad 4\,x^T y = 0 \quad\Longrightarrow\quad x^T y = 0.

Resposta

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