Verifique que o problema de encontrar uma raiz da função
é equivalente a encontrar um ponto fixo para cada uma das funções abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que resolver
é equivalente a encontrar
tal que
O conteúdo central é usar manipulações algébricas e a definição de ponto fixo:
.
Passo 2
Suponha que
satisfaça
. Então
elevamos os dois lados ao quadrado:
Multiplicando por 2 e recolocando todos os termos num lado, obtemos
ou seja,
.
Passo 3
Agora suponha
, isto é,
Logo
Como
está definido pela raiz quadrada principal (não-negativa), seguimos que
Portanto, cada raiz não-negativa de
corresponde exatamente a um ponto fixo de
.
Resposta
Mostramos que
desde que
(pois
usa a raiz principal). Assim, encontrar raiz de
é equivalente a encontrar ponto fixo de
.