Verifique que o problema de encontrar uma raiz da função f(x)=x^{4}+2 x^{2}-x-3 é equivalente a encontrar um ponto fixo para cada uma das funções abaixo.
g_{2}(x)=\left(\frac{x+3-x^{4}}{2}\right)^{\frac{1}{2}}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que resolver
f(x)=x^{4}+2x^{2}-x-3=0
é equivalente a encontrar x tal que
g_{2}(x)=\Bigl(\frac{x+3 - x^{4}}{2}\Bigr)^{\tfrac12}=x.
O conteúdo central é usar manipulações algébricas e a definição de ponto fixo: g_{2}(x)=x.

Passo 2

Suponha que x satisfaça g_{2}(x)=x. Então
x = \Bigl(\frac{x+3 - x^{4}}{2}\Bigr)^{\tfrac12}
eleva­mos os dois lados ao quadrado:
x^{2} = \frac{x+3 - x^{4}}{2}.
Multiplicando por 2 e recolocando todos os termos num lado, obtemos
2x^{2} = x + 3 - x^{4} \quad\Longrightarrow\quad x^{4} + 2x^{2} - x - 3 = 0,
ou seja, f(x)=0.

Passo 3

Agora suponha f(x)=0, isto é,
x^{4} + 2x^{2} - x - 3 = 0 \;\Longrightarrow\; x^{4} + 2x^{2} = x + 3 \;\Longrightarrow\; \frac{x+3 - x^{4}}{2} = x^{2}.
Logo
g_{2}(x) = \Bigl(\frac{x+3 - x^{4}}{2}\Bigr)^{\tfrac12} = \bigl(x^{2}\bigr)^{\tfrac12} = |x|.
Como g_{2} está definido pela raiz quadrada principal (não-negativa), seguimos que
g_{2}(x)=x \quad\text{sempre que}\quad x\ge0 \;\text{e}\; f(x)=0.
Portanto, cada raiz não-negativa de f corresponde exatamente a um ponto fixo de g_{2}.

Resposta

Mostramos que
g_{2}(x)=x \;\Longleftrightarrow\; f(x)=0
desde que x\ge0 (pois g_{2} usa a raiz principal). Assim, encontrar raiz de f é equivalente a encontrar ponto fixo de g_{2}.

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