Encontre a inversa da seguinte matriz, através da decomposição LU:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a inversa da matriz A por meio da decomposição LU. O conteúdo envolve construir A=LU (método de Doolittle) e depois, para cada coluna da inversa, resolver dois sistemas triangulares: Ly=e_i e Ux=y.
Passo 2
Vamos fatorar A em L e U. Começamos com A:
Aplicando Doolittle, obtemos
Passo 3
Agora calculamos a primeira coluna de A^{-1}. Tomamos e_1=(1,0,0)^T. Primeiro, Ly=e_1:
Depois, Ux=y:
Passo 4
Para a segunda coluna, e_2=(0,1,0)^T. Ly=e_2:
U x=y:
Passo 5
Para a terceira coluna, e_3=(0,0,1)^T. Ly=e_3:
U x=y:
Passo 6
Reunindo as colunas obtidas, a inversa fica: