Encontre a inversa da seguinte matriz, através da decomposição LU:
ccc2 & 3 & 4 1 & 1 & 1 4 & -1 & -2

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a inversa da matriz A por meio da decomposição LU. O conteúdo envolve construir A=LU (método de Doolittle) e depois, para cada coluna da inversa, resolver dois sistemas triangulares: Ly=e_i e Ux=y.

Passo 2

Vamos fatorar A em L e U. Começamos com A:
A=2 & 3 & 41 & 1 & 14 & -1 & -2
Aplicando Doolittle, obtemos
L=1 & 0 & 01/2 & 1 & 02 & 14 & 1, U=2 & 3 & 40 & -1/2 & -10 & 0 & 4

Passo 3

Agora calculamos a primeira coluna de A^{-1}. Tomamos e_1=(1,0,0)^T. Primeiro, Ly=e_1:
y=y1y2y3, y1=1, tfrac12y1+y2=0, 2y1+14y2+y3=0 implies y=1-1/25
Depois, Ux=y:
2x1+3x2+4x3=1,-tfrac12x2-x3=-1/2,4x3=5 implies x=1/4-3/25/4

Passo 4

Para a segunda coluna, e_2=(0,1,0)^T. Ly=e_2:
y1=0,tfrac12y1+y2=1,2y1+14y2+y3=0 implies y=01-14
U x=y:
2x1+3x2+4x3=0,-tfrac12x2-x3=1,4x3=-14 implies x=-1/25-7/2

Passo 5

Para a terceira coluna, e_3=(0,0,1)^T. Ly=e_3:
y1=0,tfrac12y1+y2=0,2y1+14y2+y3=1 implies y=001
U x=y:
2x1+3x2+4x3=0,-tfrac12x2-x3=0,4x3=1 implies x=1/4-1/21/4

Passo 6

Reunindo as colunas obtidas, a inversa fica:
A^-1= 1/4 & -1/2 & 1/4 -3/2 & 5 & -1/2 5/4 & -7/2 & 1/4

Resposta

A^-1=1/4 & -1/2 & 1/4-3/2 & 5 & -1/25/4 & -7/2 & 1/4

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