O problema quer mostrar que, para as funções de base lineares por partes definidas nos nós , bate a desigualdade no intervalo . Vamos precisar da definição explícita de e usar que elas são as chamadas “funções chapéu” (hat functions), que valem zero fora do suporte local.
Passo 2
Relembre a definição de . Cada função de base é linear por partes e vale zero fora de dois nós vizinhos. Em particular, para :
E análoga definição nas bordas k=0 e k=n, mas só interessa a forma no intervalo em questão.
Passo 3
No intervalo xin[xk,xk+1], vemos que
ln,k(x)=xk+1-xxk+1-xk, ln,k+1(x)=x - xkxk+1-xk, e todas as outras ln,i(x)=0
Isso ocorre porque cada ln,i só estende seu suporte aos dois nós vizinhos.
Passo 4
Agora basta somar as duas expressões. Como o denominador é o mesmo, temos
ln,k(x)+ln,k+1(x) =xk+1-xxk+1-xk+x-xkxk+1-xk =xk+1-x + x - xkxk+1-xk =xk+1-xkxk+1-xk=1
Então nesse intervalo a soma é exatamente 1, o que é certamente >=1.