Provar que, se n in N e k in N, 0 <= k <= n, então
ln k(x)+ln, k+1(x) >= 1 para x in[xk, xk+1]

Passo 1

O problema quer mostrar que, para as funções de base lineares por partes ln,i(x) definidas nos nós x0<,x1, bate a desigualdade ln,k(x)+ln,k+1(x)>=1 no intervalo [xk,xk+1]. Vamos precisar da definição explícita de ln,i(x) e usar que elas são as chamadas “funções chapéu” (hat functions), que valem zero fora do suporte local.

Passo 2

Relembre a definição de ln,k(x). Cada função de base é linear por partes e vale zero fora de dois nós vizinhos. Em particular, para 0:
ln,k(x)= x - xk-1xk - xk-1, & xin[xk-1,xk], xk+1 - xxk+1-xk, & xin[xk,xk+1], 0, & caso contrário á
E análoga definição nas bordas k=0 e k=n, mas só interessa a forma no intervalo em questão.

Passo 3

No intervalo xin[xk,xk+1], vemos que
ln,k(x)=xk+1-xxk+1-xk, ln,k+1(x)=x - xkxk+1-xk, e todas as outras ln,i(x)=0
Isso ocorre porque cada ln,i só estende seu suporte aos dois nós vizinhos.

Passo 4

Agora basta somar as duas expressões. Como o denominador é o mesmo, temos
ln,k(x)+ln,k+1(x) =xk+1-xxk+1-xk+x-xkxk+1-xk =xk+1-x + x - xkxk+1-xk =xk+1-xkxk+1-xk=1
Então nesse intervalo a soma é exatamente 1, o que é certamente >=1.

Resposta

Para todo xin[xk,xk+1], vale
ln,k(x)+ln,k+1(x)=1>=1

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