Questão 1: (2,0 pontos) Considere o sistema linear A x=b, onde:
A=\left[\begin{array}{rrr} 5 & 1 & -3 \\\\ 4 & -6 & 1 \\\\ -3 & 1 & -4 \end{array}\right] ; \quad b=\left[\begin{array}{r} 4 \\\\ -5 \\\\ 2 \end{array}\right]
Após calcular apenas uma iteração usando o método de Gauss-Seidel a partir de X^{(0)}=(0,30 ; 0,94 ;-0,48)^{T}. a solução aproximada e o erro cometido são dados por:
(a) (0,3240 ; 0,9693 ;-0,5007)^{T} ; 0,0293
(b) (0,3240 ; 1,1632 ;-0,2261)^{T} ; 0,2539
(c) (0,2314 ; 0,6051 ;-0,2611)^{T} ; 0,3349
(d) (0,2700 ; 1,1200 ;-0,2113)^{T} ; 0,2687
(e) n.r.a.

Passo 1

Temos o sistema linear A x = b com
A = \begin{pmatrix} 5 & 1 & -3 \\[6pt] 4 & -6 & 1 \\[3pt] -3 & 1 & -4 \end{pmatrix}, \quad b = \begin{pmatrix}4\\\ -5\\\ 2\end{pmatrix},
e o vetor inicial
\displaystyle X^{(0)} = (\,0,30;\;0,94;\;-0,48)^{T}.
Vamos fazer uma iteração de Gauss– Seidel, que atualiza sequencialmente cada componente por
x_i^{(k+1)} = \frac{1}{a_{ii}}\Bigl(b_i - \sum_{j<i}a_{ij}\,x_j^{(k+1)} - \sum_{j>i}a_{ij}\,x_j^{(k)}\Bigr),
e depois calcular o erro cometido pela norma infinita da diferença entre X^{(1)} e X^{(0)}.]

Passo 2

Para i=1 a equação é
5x_1 + x_2 - 3x_3 = 4 \quad\Longrightarrow\quad x_1^{(1)} = \frac{1}{5}\bigl(4 - x_2^{(0)} + 3x_3^{(0)}\bigr).
Substituindo x_2^{(0)}=0,94 e x_3^{(0)}=-0,48,
x_1^{(1)} = \frac{1}{5}\bigl(4 - 0,94 + 3(-0,48)\bigr) = \frac{1,62}{5} = 0,3240.

Passo 3

Para i=2 a equação é
4x_1 -6x_2 + x_3 = -5 \quad\Longrightarrow\quad x_2^{(1)} = \frac{-5 - 4x_1^{(1)} - x_3^{(0)}}{-6} = \frac{5 + 4x_1^{(1)} + x_3^{(0)}}{6}.
Substituindo x_1^{(1)}=0,3240 e x_3^{(0)}=-0,48,
x_2^{(1)} = \frac{5 + 4\cdot0,3240 - 0,48}{6} = \frac{5,816}{6} = 0,9693.

Passo 4

Para i=3 a equação é
-3x_1 + x_2 -4x_3 = 2 \quad\Longrightarrow\quad x_3^{(1)} = \frac{2 + 3x_1^{(1)} - x_2^{(1)}}{-4} = \frac{-2 -3x_1^{(1)} + x_2^{(1)}}{4}.
Substituindo x_1^{(1)}=0,3240 e x_2^{(1)}=0,9693,
x_3^{(1)} = \frac{-2 -3\cdot0,3240 + 0,9693}{4} = \frac{-2,0027}{4} = -0,5007.

Passo 5

O vetor após a primeira iteração é
X^{(1)} = (\,0,3240;\;0,9693;\;-0,5007)^{T}.
O erro cometido, pela norma infinita da diferença entre X^{(1)} e X^{(0)}, é
\|X^{(1)} - X^{(0)}\|_\infty = \max\bigl\{|0,3240 - 0,30|,\;|0,9693 - 0,94|,\;|{-}0,5007 - (-0,48)|\bigr\} = 0,0293.

Resposta

(a) (0,3240;\;0,9693;\;-0,5007)^{T};\;0,0293

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