Usando a fórmula de Taylor para a função f definida por \mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{e}^{\mathrm{x}} em torno de \mathrm{x}_{0}=0, quantos termos devem ser considerados para aproximar e^{2} com uma precisão de 10^{-4} ?

Passo 1

O enunciado pede para aproximar \mathrm e^{2} pela série de Taylor de \mathrm e^{x} em torno de x_{0}=0 (isto é, a série de Maclaurin) de modo que o erro de truncamento seja menor que 10^{-4}. Vamos usar a forma de Lagrange para o resto da série.

Passo 2

A série de Taylor de \mathrm e^{x} em torno de 0 é
\mathrm e^{x}=\sum_{k=0}^{n}\frac{x^{k}}{k!}+R_{n}(x),
onde o resto R_{n}(x) na forma de Lagrange é
R_{n}(x)=\frac{\mathrm e^{\xi}}{(n+1)!}\,x^{\,n+1}
para algum \xi entre 0 e x.

Passo 3

No nosso caso x=2 e, como \mathrm e^{\xi}\le \mathrm e^{2} para \xi\in[0,2], temos o majorante
\bigl|R_{n}(2)\bigr|\le \frac{\mathrm e^{2}}{(n+1)!}\,2^{\,n+1}.

Passo 4

Queremos
\frac{\mathrm e^{2}\,2^{\,n+1}}{(n+1)!}<10^{-4}.
Para encontrar o menor n que satisfaz, calculamos o valor do lado esquerdo para n=9,10,11,\dots.

Passo 5

  • Para n=9:
\frac{\mathrm e^{2}\,2^{10}}{10!} \approx\frac{7,389\cdot1024}{3{,}628{,}800} \approx2{,}08\times10^{-3} >10^{-4}.
  • Para n=10:
\frac{\mathrm e^{2}\,2^{11}}{11!} \approx3{,}79\times10^{-4} >10^{-4}.
  • Para n=11:
\frac{\mathrm e^{2}\,2^{12}}{12!} \approx6{,}32\times10^{-5} <10^{-4}.
Logo, o menor n que garante o erro abaixo de 10^{-4} é n=11.

Resposta

Devem ser considerados os termos de k=0 até k=11, ou seja, 12 termos da série.

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