(i) Obtenha a Fórmula de Taylor ao redor de
para
(ii) Obtenha o polinômio de Taylor de terceira ordem em
da função f definida no item anterior, o erro e um limitante superior do erro para o ponto
.
(iii) Determine o número mínimo de termos que deve ter o polinômio de Taylor para que
seja calculado com um erro de truncamento menor que
.
(ii) Obtenha o polinômio de Taylor de terceira ordem em
(iii) Determine o número mínimo de termos que deve ter o polinômio de Taylor para que
Passo 1
O enunciado pede três coisas sobre a expansão de Maclaurin (Taylor em torno de
) de
:
(i) a fórmula geral da série,
(ii) o polinômio de grau três, sua forma de resto (erro) e um limitante superior desse erro em ,
(iii) o número mínimo de termos para que o erro ao calcular seja menor que
.
Vamos usar o desenvolvimento em série de Taylor, a fórmula do resto na forma de Lagrange e, para (iii), a estimativa de resto em série alternada.
(i) a fórmula geral da série,
(ii) o polinômio de grau três, sua forma de resto (erro) e um limitante superior desse erro em
(iii) o número mínimo de termos para que o erro ao calcular
Vamos usar o desenvolvimento em série de Taylor, a fórmula do resto na forma de Lagrange e, para (iii), a estimativa de resto em série alternada.
Passo 2
Lembrando que a série de Taylor de uma função
em torno de
é
vamos primeiro obter
. Como
temos
Em geral pode-se mostrar por indução que
Logo, em
vem
Passo 3
Substituindo em
(observando que
), obtemos a série bem-conhecida
válida para
.
Passo 4
O polinômio de terceira ordem (Maclaurin de grau 3) é só truncar a série até
:
Passo 5
Na forma de Lagrange, o resto
pode ser escrito como
e sabemos
. Portanto
Passo 6
Para
isso dá
Passo 7
Como a série é alternada com termos de módulo
, o teorema da série alternada afirma que
Queremos
. Testando valores, achamos que o menor
que satisfaz é
.
Resposta
(i)
(ii)
.
Resto em Lagrange:
Resto em Lagrange:
(iii) O polinômio precisa ter
termos (grau
) para garantir erro
em
.