Encontre as raízes das funções abaixo utilizando o método da Bisseção, usando cinco iterações. Informe o erro máximo cometido.
f(x)=x^3-5 x^2+17 x+21

Passo 1

O exercício pede para encontrar a raiz real de f(x)=x^3-5x^2+17x+21 usando o método da bisseção, realizando cinco iterações e informando o erro máximo cometido. Para isso vamos precisar da definição do método da bisseção e da condição de mudança de sinal para escolher o intervalo inicial.

Passo 2

Primeiro, buscamos um intervalo [a,b] em que f(a) e f(b) tenham sinais opostos. Avaliando em a=-1 e b=0 temos:
f(-1) = -1 - 5 -17 + 21 = -2, f(0) = 21
Como f(-1) < 0 e f(0) > 0, há pelo menos uma raiz em [-1,0].

Passo 3

Aplicamos cinco iterações do método da bisseção. Em cada iteração calculamos o ponto médio c=(a+b)/2, avaliamos f(c) e substituímos o extremo cujo valor da função tem o mesmo sinal de f(c). Obtivemos:
1ª: &c1=-0.5, ;f(c1)=11.125>0 ;Rightarrow [a,b]=[-1,-0.5], 2ª: &c2=-0.75, ;f(c2)=5.015625>0 ;Rightarrow [a,b]=[-1,-0.75], 3ª: &c3=-0.875, ;f(c3)=1.626953125>0 ;Rightarrow [a,b]=[-1,-0.875], 4ª: &c4=-0.9375, ;f(c4)=-0.156005859<0 ;Rightarrow [a,b]=[-0.9375,-0.875], 5ª: &c5=-0.90625, ;f(c5)=0.742675781>0 ;Rightarrow [a,b]=[-0.9375,-0.90625] ªªªªª
Após a quinta iteração, temos como aproximação da raiz c5=-0.90625 no intervalo [-0.9375,-0.90625].

Passo 4

O erro máximo na bisseção após n iterações satisfaz
|alpha - cn| <= b0 - a02^n
Aqui b0-a0=1 e n=5, portanto
Emax <= 12^5 = 0.03125

Resposta

Raiz aproximada após 5 iterações: -0.90625
Erro máximo cometido: 0.03125

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