Encontre todas as raízes reais do polinômio abaixo pelo método de NewtonRaphson.
p(x)=x^4-2 x^3+4 x-1.6

Passo 1

O enunciado pede pra gente encontrar todas as raízes reais do polinômio p(x)=x^4-2x^3+4x-1.6 usando o método de Newton–Raphson. O conteúdo aqui é método iterativo de aproximação de raízes, e vamos precisar da função p(x), de sua derivada p'(x) e de palpites iniciais razoáveis para cada raiz real.

Passo 2

O método de Newton–Raphson se baseia na fórmula de iteração
xn+1=xn-p(xn)p'(xn)
Logo, o primeiro passo é calcular a derivada do polinômio.

Passo 3

Derivando p(x)=x^4-2x^3+4x-1.6 temos
p'(x)=4x^3-6x^2+4
Para achar palpites iniciais, analisamos sinais de p(x) em alguns pontos: por exemplo,
p(0)=-1.6, p(1)=1.4>0 indica uma raiz entre 0 e 1; e p(-2)=22.4>0, p(-1)=-2.6<0 indica outra raiz entre -2 e -1.

Passo 4

Escolhendo o palpite inicial x0=0.5 pra raiz positiva, fazemos iterações de Newton até convergir com boa precisão (duas casas decimais na diferença):
  1. x0=0.5, p(x0)=0.2125, p'(x0)=3.0 x1=0.5-0.2125/3.0approx0.42917
  2. x1approx0.42917, p(x1)approx-0.0075, p'(x1)approx3.2110 x2approx0.43151
  3. x2approx0.43151, p(x2)approx0.0001 x3approx0.43148
    Dá pra ver que a iteração já estabiliza em xapprox0.4315.

Passo 5

Agora pro palpite inicial x0=-1.3 na região negativa, repetimos:
  1. x0=-1.3, p(x0)=0.4505, p'(x0)approx-14.928 x1approx-1.2698
  2. x1approx-1.2698, p(x1)approx0.0190, p'(x1)approx-13.870 x2approx-1.2684
  3. x2approx-1.2684, p(x2)approx0.0018 x3approx-1.2676
  4. Mais uma iteração já leva a xapprox-1.2675.

Resposta

As únicas raízes reais do polinômio são aproximadamente x≈0,4315 e x≈–1,2675.

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