Encontre todas as raízes reais do polinômio abaixo pelo método de NewtonRaphson.
Passo 1
O enunciado pede pra gente encontrar todas as raízes reais do polinômio
usando o método de Newton–Raphson. O conteúdo aqui é método iterativo de aproximação de raízes, e vamos precisar da função
, de sua derivada
e de palpites iniciais razoáveis para cada raiz real.
Passo 2
O método de Newton–Raphson se baseia na fórmula de iteração
Logo, o primeiro passo é calcular a derivada do polinômio.
Passo 3
Derivando
temos
Para achar palpites iniciais, analisamos sinais de
em alguns pontos: por exemplo,
,
indica uma raiz entre 0 e 1; e
,
indica outra raiz entre -2 e -1.
Passo 4
Escolhendo o palpite inicial
pra raiz positiva, fazemos iterações de Newton até convergir com boa precisão (duas casas decimais na diferença):
-
, , ⇒ -
, , ⇒ -
, ⇒
Dá pra ver que a iteração já estabiliza em.
Passo 5
Agora pro palpite inicial
na região negativa, repetimos:
-
, , ⇒ -
, , ⇒ -
, ⇒ - Mais uma iteração já leva a
.
Resposta
As únicas raízes reais do polinômio são aproximadamente x≈0,4315 e x≈–1,2675.