Encontre as raízes (zeros) da seguinte função, no intervalo dado, através dos métodos gráfico, da bisseção, da falsa posição, de Newton e da secante. Com base no resultado gráfico, determine intervalos para a possível solução, no caso do método da bisseção ou estimativa(s) inicial(is) para os métodos de Newton e da secante. Note que, para alguns casos, as funções tendem ao infinito para algum dos limites dos intervalos fornecidos. Realize 3 iterações para cada método.

Passo 1

O enunciado pede para achar as raízes de f(x)=e^x-tan(x) no intervalo (0,,pi/2) pelos métodos gráfico, da bisseção, da falsa posição, de Newton e da secante, fazendo 3 iterações em cada caso. Vamos usar: definição de raiz ( f(x)=0), análise de sinal para o método gráfico e derivada f'(x)=e^x-sec^2(x) para Newton.

Passo 2

Para o método gráfico notamos que
f(0^+)=e^0-0=1>0, fl(pi/2^-r)=e^pi/2-tanl(pi/2^-r)to -infty
Como há troca de sinal em (0,,pi/2), existe exatamente uma raiz simples. Avaliando alguns pontos,
f(1.3)approx0.067>0, f(1.4)approx-1.742<0,
logo tomamos o intervalo inicial [1.3,,1.4] para bisseção e falsa posição, e estimativas iniciais x0=1.3, x1=1.4 para o método da secante e x^(0)=1.3 para Newton.

Passo 3

Aplicando o método da bisseção em [1.3,,1.4]:
  1. c1=1.35, f(c1)approx-1.17 troca o sinal em [1.3,1.35].
  2. c2=1.325, f(c2)approx-0.527 troca o sinal em [1.3,1.325].
  3. c3=1.3125, f(c3)approx-0.209 troca o sinal em [1.3,1.3125].
    Após 3 iterações, temos xapprox1.3125.

Passo 4

Aplicando falsa posição em [1.3,,1.4]:
  1. c1=1.3-f(1.3)(1.4-1.3)f(1.4)-f(1.3)approx1.3037, f(c1)approx0.188
    2) Troca-se a por c1 e obtém-se
    c2approx1.3131, f(c2)approx-0.017
  2. Troca-se b por c2 e obtém-se c3approx1.3123, f(c3)approx-0.003
    Após 3 iterações, xapprox1.3123.

Passo 5

Para Newton, com f'(x)=e^x-sec^2(x) e x^(0)=1.3:
  1. x^(1)=1.3-0.0673.6693-14.013approx1.3065
  2. x^(2)=1.3065-0.0933.693-14.68approx1.3150
  3. x^(3)=1.3150--0.0463.724-15.256approx1.3110
    Após 3 iterações, xapprox1.3110.

Passo 6

No método da secante, com x0=1.3, x1=1.4:
  1. x2=1.4-f(1.4)(1.4-1.3)f(1.4)-f(1.3)approx1.3037
  2. x3=1.3037-f(1.3037)(1.3037-1.4)f(1.3037)-f(1.4)approx1.3131
  3. x4=1.3131-f(1.3131)(1.3131-1.3037)f(1.3131)-f(1.3037)approx1.3132
    Após 3 iterações, xapprox1.3132.

Resposta

Aproximações após 3 iterações:
  • Bisseção: 1.3125
  • Falsa posição: 1.3123
  • Newton: 1.3110
  • Secante: 1.3132

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